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2. 反比例关系：两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的⑱
乘积
一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用⑲xy
= k或⑳$y = \frac{k}{x}$
来表示,其中k叫作比例系数。
答案：
【解析】：
这道题目考察的是反比例关系的定义及表示方法。题目中提到了两个相关联的量，当一个量变化时，另一个量也会随之变化，且它们的乘积是一个确定的值（k），这种关系被称为反比例关系。需要用字母x和y来表示这两个相关联的量，用k来表示它们的乘积。根据反比例关系的定义，我们可以得出反比例关系的两种表示方式：$xy = k$ 或 $y = \frac{k}{x}$。
【答案】：
⑱乘积；⑲$xy$；⑳$y = \frac{k}{x}$。
这道题目考察的是反比例关系的定义及表示方法。题目中提到了两个相关联的量，当一个量变化时，另一个量也会随之变化，且它们的乘积是一个确定的值（k），这种关系被称为反比例关系。需要用字母x和y来表示这两个相关联的量，用k来表示它们的乘积。根据反比例关系的定义，我们可以得出反比例关系的两种表示方式：$xy = k$ 或 $y = \frac{k}{x}$。
【答案】：
⑱乘积；⑲$xy$；⑳$y = \frac{k}{x}$。
例题1 下列关于代数式的描述,正确的是 (
A.2a表示2加a
B.2a+3表示a加a加3
C.a^2$表示a加a$
$D.2a^2$表示2a乘2a
B
)A.2a表示2加a
B.2a+3表示a加a加3
C.a^2$表示a加a$
$D.2a^2$表示2a乘2a
答案：
【解析】：
本题主要考察代数式的基本含义和表示方法。
A. $2a$ 实际上表示的是 $2 × a$，即a加a，而不是 $2+a$，所以A选项错误。
B. $2a+3$ 可以看作 $a+a+3$，即a加a再加3，所以B选项正确。
C. $a^2$ 表示 $a × a$，即a乘a，而不是a加a，所以C选项错误。
D. $2a^2$ 表示 $2 × a × a$，即2乘a乘a，而不是 $2a × 2a$，所以D选项错误。
【答案】：B
本题主要考察代数式的基本含义和表示方法。
A. $2a$ 实际上表示的是 $2 × a$，即a加a，而不是 $2+a$，所以A选项错误。
B. $2a+3$ 可以看作 $a+a+3$，即a加a再加3，所以B选项正确。
C. $a^2$ 表示 $a × a$，即a乘a，而不是a加a，所以C选项错误。
D. $2a^2$ 表示 $2 × a × a$，即2乘a乘a，而不是 $2a × 2a$，所以D选项错误。
【答案】：B
例题2 某商店出售一种商品,其原价为a元,有如下两种调价方案：方案一是先提价15%,在此基础上又降价15%；方案二是先降价15%,在此基础上又提价15%。
(1)用这两种方案调价后的价格分别是多少？结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？
(2)两种调价方案改为方案一是先提价25%,在此基础上又降价25%；方案二是先降价25%,在此基础上又提价25%,这时结果怎样？
(3)你能总结出什么结论呢？
(1)用这两种方案调价后的价格分别是多少？结果是否一样？调价后的结果是不是都恢复了原价？
(2)两种调价方案改为方案一是先提价25%,在此基础上又降价25%；方案二是先降价25%,在此基础上又提价25%,这时结果怎样？
(3)你能总结出什么结论呢？
答案：
【解析】：本题主要考查列代数式及代数式的运算，通过设原价为$a$元，分别按照两种调价方案列出调价后的价格表达式，再进行比较，从而得出结论。
对于方案一，先提价一定百分比，再在此基础上降价相同百分比，通过乘法运算列出调价后的价格表达式。
对于方案二，先降价一定百分比，再在此基础上提价相同百分比，同样通过乘法运算列出调价后的价格表达式。
最后比较两种方案调价后的价格表达式是否相等，并与原价比较判断是否恢复原价。
【答案】：
(1)
方案一：提价$15\%$后的价格是$a(1 + 15\%)$元，又降价$15\%$后的价格是$a(1 + 15\%)(1 - 15\%) = 0.9775a$元。
方案二：降价$15\%$后的价格是$a(1 - 15\%)$元，又提价$15\%$后的价格是$a(1 - 15\%)(1 + 15\%) = 0.9775a$元。
因为$0.9775a = 0.9775a$，所以两种调价的结果一样，但$0.9775a\neq a$，调价后的结果都没有恢复原价。
(2)
方案一：提价$25\%$后的价格是$a(1 + 25\%)$元，又降价$25\%$后的价格是$a(1 + 25\%)(1 - 25\%) = 0.9375a$元。
方案二：降价$25\%$后的价格是$a(1 - 25\%)$元，又提价$25\%$后的价格是$a(1 - 25\%)(1 + 25\%) = 0.9375a$元。
因为$0.9375a = 0.9375a$，所以两种调价的结果一样，但$0.9375a\neq a$，调价后的结果都没有恢复原价。
(3)在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，在此基础上再提价同样的百分数，最后结果一样，但不是恢复原价。
对于方案一，先提价一定百分比，再在此基础上降价相同百分比，通过乘法运算列出调价后的价格表达式。
对于方案二，先降价一定百分比，再在此基础上提价相同百分比，同样通过乘法运算列出调价后的价格表达式。
最后比较两种方案调价后的价格表达式是否相等，并与原价比较判断是否恢复原价。
【答案】：
(1)
方案一：提价$15\%$后的价格是$a(1 + 15\%)$元，又降价$15\%$后的价格是$a(1 + 15\%)(1 - 15\%) = 0.9775a$元。
方案二：降价$15\%$后的价格是$a(1 - 15\%)$元，又提价$15\%$后的价格是$a(1 - 15\%)(1 + 15\%) = 0.9775a$元。
因为$0.9775a = 0.9775a$，所以两种调价的结果一样，但$0.9775a\neq a$，调价后的结果都没有恢复原价。
(2)
方案一：提价$25\%$后的价格是$a(1 + 25\%)$元，又降价$25\%$后的价格是$a(1 + 25\%)(1 - 25\%) = 0.9375a$元。
方案二：降价$25\%$后的价格是$a(1 - 25\%)$元，又提价$25\%$后的价格是$a(1 - 25\%)(1 + 25\%) = 0.9375a$元。
因为$0.9375a = 0.9375a$，所以两种调价的结果一样，但$0.9375a\neq a$，调价后的结果都没有恢复原价。
(3)在原价基础上，先提价百分之多少，在此基础上再降价同样的百分数，与先降价百分之多少，在此基础上再提价同样的百分数，最后结果一样，但不是恢复原价。
例题3 有两个相关联的量,它们的关系可以用下图来表示,这两个量可能是 ( )
A.《小学生数学报》订阅的总价钱和订阅的数量
B.正方体的表面积和它的棱长
C.小华看《数学花园》,看了的页数和未看的页数
D.工作总量一定时,工作时间和工作效率
A.《小学生数学报》订阅的总价钱和订阅的数量
B.正方体的表面积和它的棱长
C.小华看《数学花园》,看了的页数和未看的页数
D.工作总量一定时,工作时间和工作效率
答案：
【解析】：
首先，我们需要分析题目给出的选项，确定它们各自代表的数学关系。题目中的图表示两个量之间有一种固定的比例关系，即当一个量增加时，另一个量也按照固定的比例增加，这是正比例关系的特征。
A选项：订阅的总价钱和订阅的数量之间的关系是线性的，因为总价钱是单价与数量的乘积，如果单价固定，则总价钱与数量成正比。
B选项：正方体的表面积与棱长的关系是二次的，因为表面积是棱长的平方的6倍，所以不是正比例关系。
C选项：看了的页数与未看的页数之和是书的总页数，这是一个和的关系，不是正比例关系。
D选项：工作总量是工作时间与工作效率的乘积，当工作总量一定时，工作时间与工作效率是反比例关系。
根据以上分析，只有A选项表示的是两个量之间的正比例关系。
【答案】：A
首先，我们需要分析题目给出的选项，确定它们各自代表的数学关系。题目中的图表示两个量之间有一种固定的比例关系，即当一个量增加时，另一个量也按照固定的比例增加，这是正比例关系的特征。
A选项：订阅的总价钱和订阅的数量之间的关系是线性的，因为总价钱是单价与数量的乘积，如果单价固定，则总价钱与数量成正比。
B选项：正方体的表面积与棱长的关系是二次的，因为表面积是棱长的平方的6倍，所以不是正比例关系。
C选项：看了的页数与未看的页数之和是书的总页数，这是一个和的关系，不是正比例关系。
D选项：工作总量是工作时间与工作效率的乘积，当工作总量一定时，工作时间与工作效率是反比例关系。
根据以上分析，只有A选项表示的是两个量之间的正比例关系。
【答案】：A
变式练1 某商店举办促销活动。促销的方法是将原价为x元的衣服以$(\frac{4}{5}x - 7)$元出售,则下列关于代数式$\frac{4}{5}x - 7$的含义的描述正确的是 (
A.原价打8折后再减去7元
B.原价减去7元后再打8折
C.原价减去7元后再打2折
D.原价打2折后再减去7元
A
)A.原价打8折后再减去7元
B.原价减去7元后再打8折
C.原价减去7元后再打2折
D.原价打2折后再减去7元
答案：
【解析】：
本题主要考察对代数式含义的理解以及打折等实际问题的数学表示。
分析代数式$\frac{4}{5}x - 7$：
$\frac{4}{5}x$ 表示原价 $x$ 元的衣服打 8 折（即原价的 80%）后的价格。
$-7$ 表示在打折后的价格基础上再减去 7 元。
综合以上两点，代数式 $\frac{4}{5}x - 7$ 的含义是原价打 8 折后再减去 7 元。
【答案】：
A. 原价打 8 折后再减去 7 元。
本题主要考察对代数式含义的理解以及打折等实际问题的数学表示。
分析代数式$\frac{4}{5}x - 7$：
$\frac{4}{5}x$ 表示原价 $x$ 元的衣服打 8 折（即原价的 80%）后的价格。
$-7$ 表示在打折后的价格基础上再减去 7 元。
综合以上两点，代数式 $\frac{4}{5}x - 7$ 的含义是原价打 8 折后再减去 7 元。
【答案】：
A. 原价打 8 折后再减去 7 元。
变式练2 用代数式表示：
(1)比x的平方的3倍小4的数。
(2)a,b两数的平方差加上它们乘积的两倍。
(1)比x的平方的3倍小4的数。
$3x^2 - 4$
(2)a,b两数的平方差加上它们乘积的两倍。
$a^2 - b^2 + 2ab$
答案：
【解析】：
(1) 对于“比x的平方的3倍小4的数”，首先找到x的平方，即$x^2$，然后找到它的3倍，即$3x^2$，最后找到比这个数小4的数，即$3x^2 - 4$。
(2) 对于“a，b两数的平方差加上它们乘积的两倍”，首先找到a和b的平方，即$a^2$和$b^2$，然后找到它们的差，即$a^2 - b^2$，接着找到a和b的乘积的两倍，即$2ab$，最后将这两部分相加，得到$a^2 - b^2 + 2ab$。
【答案】：
(1) $3x^2 - 4$；
(2) $a^2 - b^2 + 2ab$。
(1) 对于“比x的平方的3倍小4的数”，首先找到x的平方，即$x^2$，然后找到它的3倍，即$3x^2$，最后找到比这个数小4的数，即$3x^2 - 4$。
(2) 对于“a，b两数的平方差加上它们乘积的两倍”，首先找到a和b的平方，即$a^2$和$b^2$，然后找到它们的差，即$a^2 - b^2$，接着找到a和b的乘积的两倍，即$2ab$，最后将这两部分相加，得到$a^2 - b^2 + 2ab$。
【答案】：
(1) $3x^2 - 4$；
(2) $a^2 - b^2 + 2ab$。
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