搜索
例题1 小明学了有理数的乘方后,知道$2^{3}= 8$,$2^{5}= 32$,他问老师有没有$2^{0}$,$2^{-3}$,如果有,等于多少？老师耐心提示他：$2^{5}÷ 2^{3}= 4$,$2^{5 - 3}= 4$,即$2^{5}÷ 2^{3}= 2^{5 - 3}= 2^{2}= 4$。“哦,我明白了。”小明说。他很快算出了答案。亲爱的同学,你想出来了吗？
(1)请仿照老师的方法,推算出$2^{0}$,$2^{-3}$的值。
(2)据此比较$(-3)^{-2}与(-2)^{-3}$的大小。(写出计算过程)
(1)请仿照老师的方法,推算出$2^{0}$,$2^{-3}$的值。
(2)据此比较$(-3)^{-2}与(-2)^{-3}$的大小。(写出计算过程)
答案：
【解析】：
(1) 对于$2^{0}$和$2^{-3}$的推算，我们可以利用同底数幂的除法法则，即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$（其中$a \neq 0$，$m$和$n$都是正整数，且$m ＞ n$）。当$m = n$时，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-m} = a^{0} = 1$；当$m ＜ n$时，我们可以将$a^{m} ÷ a^{n}$看作$a^{m} ÷ (a^{m} × a^{n-m})$，从而得到$a^{-(n-m)} = \frac{1}{a^{n-m}}$。
对于$2^{0}$，我们可以将其看作$2^{1} ÷ 2^{1}$，根据同底数幂的除法法则，得到$2^{0} = 1$。
对于$2^{-3}$，我们可以将其看作$2^{1} ÷ 2^{4}$，即$2^{-3} = \frac{2}{2^{4}} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$。
(2) 对于$(-3)^{-2}$和$(-2)^{-3}$的比较，我们首先需要分别计算出它们的值。
$(-3)^{-2}$可以看作$\frac{1}{(-3)^{2}}$，因为负数的偶数次方是正数，所以$(-3)^{2} = 9$，从而$(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$。
$(-2)^{-3}$可以看作$\frac{1}{(-2)^{3}}$，因为负数的奇数次方是负数，所以$(-2)^{3} = -8$，从而$(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$。
比较这两个数，显然有$\frac{1}{9} ＞ -\frac{1}{8}$，所以$(-3)^{-2} ＞ (-2)^{-3}$。
【答案】：
(1) $2^{0} = 1$，$2^{-3} = \frac{1}{8}$。
(2) $(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$，$(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$，所以$(-3)^{-2} ＞ (-2)^{-3}$。
(1) 对于$2^{0}$和$2^{-3}$的推算，我们可以利用同底数幂的除法法则，即$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$（其中$a \neq 0$，$m$和$n$都是正整数，且$m ＞ n$）。当$m = n$时，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-m} = a^{0} = 1$；当$m ＜ n$时，我们可以将$a^{m} ÷ a^{n}$看作$a^{m} ÷ (a^{m} × a^{n-m})$，从而得到$a^{-(n-m)} = \frac{1}{a^{n-m}}$。
对于$2^{0}$，我们可以将其看作$2^{1} ÷ 2^{1}$，根据同底数幂的除法法则，得到$2^{0} = 1$。
对于$2^{-3}$，我们可以将其看作$2^{1} ÷ 2^{4}$，即$2^{-3} = \frac{2}{2^{4}} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$。
(2) 对于$(-3)^{-2}$和$(-2)^{-3}$的比较，我们首先需要分别计算出它们的值。
$(-3)^{-2}$可以看作$\frac{1}{(-3)^{2}}$，因为负数的偶数次方是正数，所以$(-3)^{2} = 9$，从而$(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$。
$(-2)^{-3}$可以看作$\frac{1}{(-2)^{3}}$，因为负数的奇数次方是负数，所以$(-2)^{3} = -8$，从而$(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$。
比较这两个数，显然有$\frac{1}{9} ＞ -\frac{1}{8}$，所以$(-3)^{-2} ＞ (-2)^{-3}$。
【答案】：
(1) $2^{0} = 1$，$2^{-3} = \frac{1}{8}$。
(2) $(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$，$(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$，所以$(-3)^{-2} ＞ (-2)^{-3}$。
例题2 已知$a$,$b$,$c满足\vert a + 1\vert + \left(b + 2\dfrac{1}{2}\right)^{2} + \vert c - 3\vert = 0$,求$a^{2023} + b^{c}$的值。
答案：
【解析】：本题可根据非负数的性质求出$a$、$b$、$c$的值，再代入式子计算。
已知$\vert a + 1\vert + \left(b + 2\dfrac{1}{2}\right)^{2} + \vert c - 3\vert = 0$，因为绝对值一定是非负的，一个数的平方也是非负的，要使三个非负数的和为$0$，则这三个非负数必须都为$0$。
由此可得到三个方程：
$\vert a + 1\vert=0$，即$a + 1 = 0$，解得$a = -1$；
$\left(b + 2\dfrac{1}{2}\right)^{2}=0$，即$b + 2\dfrac{1}{2} = 0$，解得$b = -2\dfrac{1}{2}$；
$\vert c - 3\vert=0$，即$c - 3 = 0$，解得$c = 3$。
将$a = -1$，$b = -2\dfrac{1}{2}$，$c = 3$代入$a^{2023} + b^{c}$可得：
$(-1)^{2023} + \left(-2\dfrac{1}{2}\right)^{3}$
根据乘方的运算法则计算：
$(-1)^{2023}=-1$（因为奇数次幂的负数结果仍为负数）
$\left(-2\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{3}=-\dfrac{125}{8}$
所以$a^{2023} + b^{c}=-1-\dfrac{125}{8}=-\dfrac{133}{8}$。
【答案】：$a = -1$，$b = -2\dfrac{1}{2}$，$c = 3$；$a^{2023} + b^{c}=-\dfrac{133}{8}$。
已知$\vert a + 1\vert + \left(b + 2\dfrac{1}{2}\right)^{2} + \vert c - 3\vert = 0$，因为绝对值一定是非负的，一个数的平方也是非负的，要使三个非负数的和为$0$，则这三个非负数必须都为$0$。
由此可得到三个方程：
$\vert a + 1\vert=0$，即$a + 1 = 0$，解得$a = -1$；
$\left(b + 2\dfrac{1}{2}\right)^{2}=0$，即$b + 2\dfrac{1}{2} = 0$，解得$b = -2\dfrac{1}{2}$；
$\vert c - 3\vert=0$，即$c - 3 = 0$，解得$c = 3$。
将$a = -1$，$b = -2\dfrac{1}{2}$，$c = 3$代入$a^{2023} + b^{c}$可得：
$(-1)^{2023} + \left(-2\dfrac{1}{2}\right)^{3}$
根据乘方的运算法则计算：
$(-1)^{2023}=-1$（因为奇数次幂的负数结果仍为负数）
$\left(-2\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{3}=-\dfrac{125}{8}$
所以$a^{2023} + b^{c}=-1-\dfrac{125}{8}=-\dfrac{133}{8}$。
【答案】：$a = -1$，$b = -2\dfrac{1}{2}$，$c = 3$；$a^{2023} + b^{c}=-\dfrac{133}{8}$。
变式练1 下列各组数中：①$-3^{2}与3^{2}$；②$(-3)^{2}与3^{2}$；③$-(-2)与-(+2)$；④$(-3)^{3}与-3^{3}$；⑤$-2^{3}与3^{2}$。其中互为相反数的共有(
A.$4$对
B.$3$对
C.$2$对
D.$1$对
答案见P18
C
)A.$4$对
B.$3$对
C.$2$对
D.$1$对
答案见P18
答案：
【解析】：
本题主要考察有理数的乘方运算以及相反数的概念。
首先，我们逐一计算每一组数的值：
① 对于$-3^{2}$和$3^{2}$：
$-3^{2} = -(3 × 3) = -9$
$3^{2} = 3 × 3 = 9$
由于$-9$和$9$互为相反数，所以①中的两个数互为相反数。
② 对于$(-3)^{2}$和$3^{2}$：
$(-3)^{2} = (-3) × (-3) = 9$
$3^{2} = 3 × 3 = 9$
由于两个数都是9，它们不是互为相反数，所以②中的两个数不互为相反数。
③ 对于$-(-2)$和$-(+2)$：
$-(-2) = 2$
$-(+2) = -2$
由于$2$和$-2$互为相反数，所以③中的两个数互为相反数。
④ 对于$(-3)^{3}$和$-3^{3}$：
$(-3)^{3} = (-3) × (-3) × (-3) = -27$
$-3^{3} = -(3 × 3 × 3) = -27$
由于两个数都是$-27$，它们不是互为相反数，所以④中的两个数不互为相反数。
⑤ 对于$-2^{3}$和$3^{2}$：
$-2^{3} = -(2 × 2 × 2) = -8$
$3^{2} = 3 × 3 = 9$
由于$-8$和$9$不是互为相反数，所以⑤中的两个数不互为相反数。
综上所述，互为相反数的有①和③两组。
【答案】：
C
本题主要考察有理数的乘方运算以及相反数的概念。
首先，我们逐一计算每一组数的值：
① 对于$-3^{2}$和$3^{2}$：
$-3^{2} = -(3 × 3) = -9$
$3^{2} = 3 × 3 = 9$
由于$-9$和$9$互为相反数，所以①中的两个数互为相反数。
② 对于$(-3)^{2}$和$3^{2}$：
$(-3)^{2} = (-3) × (-3) = 9$
$3^{2} = 3 × 3 = 9$
由于两个数都是9，它们不是互为相反数，所以②中的两个数不互为相反数。
③ 对于$-(-2)$和$-(+2)$：
$-(-2) = 2$
$-(+2) = -2$
由于$2$和$-2$互为相反数，所以③中的两个数互为相反数。
④ 对于$(-3)^{3}$和$-3^{3}$：
$(-3)^{3} = (-3) × (-3) × (-3) = -27$
$-3^{3} = -(3 × 3 × 3) = -27$
由于两个数都是$-27$，它们不是互为相反数，所以④中的两个数不互为相反数。
⑤ 对于$-2^{3}$和$3^{2}$：
$-2^{3} = -(2 × 2 × 2) = -8$
$3^{2} = 3 × 3 = 9$
由于$-8$和$9$不是互为相反数，所以⑤中的两个数不互为相反数。
综上所述，互为相反数的有①和③两组。
【答案】：
C
(1)如果$\vert x - 3\vert + (y + 2)^{2}= 0$,那么$(x + y)^{2022}的值是\textcolor{red}{\text{
(2)若$2021(a + 2)^{2022} + 2023\vert b - 1\vert = 0$,则$(a + b)^{2022}= \textcolor{red}{\text{
1
}}$。(2)若$2021(a + 2)^{2022} + 2023\vert b - 1\vert = 0$,则$(a + b)^{2022}= \textcolor{red}{\text{
1
}}$。
答案：
【解析】：
本题主要考察有理数的乘方以及绝对值和平方数的性质。
(1) 对于方程 $|x - 3| + (y + 2)^{2} = 0$，
由于绝对值和平方数都是非负的，所以要使方程成立，必须有 $|x - 3| = 0$ 和 $(y + 2)^{2} = 0$。
解得 $x = 3$，$y = -2$。
代入 $(x + y)^{2022}$，得 $(3 - 2)^{2022} = 1^{2022} = 1$。
(2) 对于方程 $2021(a + 2)^{2022} + 2023|b - 1| = 0$，
同样由于乘方和绝对值都是非负的，所以要使方程成立，必须有 $2021(a + 2)^{2022} = 0$ 和 $2023|b - 1| = 0$。
解得 $a = -2$，$b = 1$。
代入 $(a + b)^{2022}$，得 $(-2 + 1)^{2022} = (-1)^{2022} = 1$。
【答案】：
(1) $1$
(2) $1$
本题主要考察有理数的乘方以及绝对值和平方数的性质。
(1) 对于方程 $|x - 3| + (y + 2)^{2} = 0$，
由于绝对值和平方数都是非负的，所以要使方程成立，必须有 $|x - 3| = 0$ 和 $(y + 2)^{2} = 0$。
解得 $x = 3$，$y = -2$。
代入 $(x + y)^{2022}$，得 $(3 - 2)^{2022} = 1^{2022} = 1$。
(2) 对于方程 $2021(a + 2)^{2022} + 2023|b - 1| = 0$，
同样由于乘方和绝对值都是非负的，所以要使方程成立，必须有 $2021(a + 2)^{2022} = 0$ 和 $2023|b - 1| = 0$。
解得 $a = -2$，$b = 1$。
代入 $(a + b)^{2022}$，得 $(-2 + 1)^{2022} = (-1)^{2022} = 1$。
【答案】：
(1) $1$
(2) $1$
查看更多完整答案，请扫码查看
