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例题3 如图所示,池塘边有块长为20米,宽为10米的长方形土地,现在将其三面留出宽都是$ x $米的小路,中间余下的长方形部分作为菜地,用含$ x $的式子表示：
(1)菜地的长$ a = $
(2)求菜地的周长$ C $,并求当$ x = 1 $时,菜地的周长是多少.
(1)菜地的长$ a = $
$(20 - 2x)$
米,菜地的宽$ b = $$(10 - x)$
米；(2)求菜地的周长$ C $,并求当$ x = 1 $时,菜地的周长是多少.
菜地的周长$C=(60 - 6x)$米；当$x = 1$时，菜地的周长为$54$米
答案：
【解析】：本题主要考查整式的加减运算以及代数式求值。
(1)观察图形可知，菜地的长是原长方形的长减去两条小路的宽度，即$a = 20 - 2x$米；
菜地的宽是原长方形的宽减去一条小路的宽度，即$b = 10 - x$米。
(2)根据长方形的周长公式$C = 2(a + b)$，代入$a = 20 - 2x$，$b = 10 - x$，得到菜地的周长$C = 2(20 - 2x + 10 - x) = 60 - 6x$米。
当$x = 1$时，代入上述公式，得到菜地的周长$C = 60 - 6 × 1 = 54$米。
【答案】：
(1)$(20 - 2x)$；$(10 - x)$
(2)菜地的周长$C = (60 - 6x)$米；当$x = 1$时，菜地的周长为$54$米
(1)观察图形可知，菜地的长是原长方形的长减去两条小路的宽度，即$a = 20 - 2x$米；
菜地的宽是原长方形的宽减去一条小路的宽度，即$b = 10 - x$米。
(2)根据长方形的周长公式$C = 2(a + b)$，代入$a = 20 - 2x$，$b = 10 - x$，得到菜地的周长$C = 2(20 - 2x + 10 - x) = 60 - 6x$米。
当$x = 1$时，代入上述公式，得到菜地的周长$C = 60 - 6 × 1 = 54$米。
【答案】：
(1)$(20 - 2x)$；$(10 - x)$
(2)菜地的周长$C = (60 - 6x)$米；当$x = 1$时，菜地的周长为$54$米
例题4 老师设计了一个数学试验,给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简的代数式的卡片,规则是两名同学的代数式相减等于第三名同学的代数式,则试验成功. 甲、乙、丙的卡片如下,丙的卡片有一部分看不清楚了.
甲：$ 2x^2 - 3x - 1 $
乙：$ x^2 - 2x + 3 $
丙：
+ 2
(1)计算出甲减乙的结果,并判断甲减乙能否使试验成功；
(2)嘉琪发现丙减甲可以使试验成功,请求出丙的代数式.
甲：$ 2x^2 - 3x - 1 $
乙：$ x^2 - 2x + 3 $
丙：
+ 2(1)计算出甲减乙的结果,并判断甲减乙能否使试验成功；
(2)嘉琪发现丙减甲可以使试验成功,请求出丙的代数式.
答案：
(1)解：根据题意得$(2x^2 - 3x - 1) - (x^2 - 2x + 3)$
$=2x^2 - 3x - 1 - x^2 + 2x - 3$
$=x^2 - x - 4$
因为丙的代数式为[插图1]+2，其常数项为2，而$x^2 - x - 4$的常数项为-4，二者不相等，所以甲减乙不能使试验成功。
(2)解：因为丙减甲可以使试验成功，所以丙=甲+乙
则丙的代数式为$(2x^2 - 3x - 1) + (x^2 - 2x + 3)$
$=2x^2 - 3x - 1 + x^2 - 2x + 3$
$=3x^2 - 5x + 2$
(1)解：根据题意得$(2x^2 - 3x - 1) - (x^2 - 2x + 3)$
$=2x^2 - 3x - 1 - x^2 + 2x - 3$
$=x^2 - x - 4$
因为丙的代数式为[插图1]+2，其常数项为2，而$x^2 - x - 4$的常数项为-4，二者不相等，所以甲减乙不能使试验成功。
(2)解：因为丙减甲可以使试验成功，所以丙=甲+乙
则丙的代数式为$(2x^2 - 3x - 1) + (x^2 - 2x + 3)$
$=2x^2 - 3x - 1 + x^2 - 2x + 3$
$=3x^2 - 5x + 2$
变式练3 大客车上原有$ (3a - b) $人,中途下车一半人,又上车若干人,这时车上共有乘客$ (8a - 5b) $人.
(1)问：上车乘客有多少人？
(2)在(1)的结论下,当$ a = 12 $,$ b = 10 $时,上车乘客有多少人？
(1)问：上车乘客有多少人？
(2)在(1)的结论下,当$ a = 12 $,$ b = 10 $时,上车乘客有多少人？
答案：
【解析】：
(1) 根据题意，大客车上原有 $(3a - b)$ 人，中途下车一半人，所以剩下的人数为 $\frac{3a - b}{2}$ 人。
又上车若干人后，车上共有 $(8a - 5b)$ 人。
设上车乘客有 $x$ 人，则根据题意有：
$\frac{3a - b}{2} + x = 8a - 5b$
解这个方程，我们得到：
$x = (8a - 5b) - \frac{3a - b}{2}$
$x = \frac{16a - 10b - 3a + b}{2}$
$x = \frac{13a - 9b}{2}$
或者写作混合数形式：
$x = \frac{1}{2}(13a - 9b) = \frac{13}{2}a - \frac{9}{2}b$
但通常我们保留分数形式以更清晰地展示整式的结构。
(2) 当 $a = 12$，$b = 10$ 时，
将这两个值代入 $x = \frac{13a - 9b}{2}$，我们得到：
$x = \frac{13 × 12 - 9 × 10}{2}$
$x = \frac{156 - 90}{2}$
$x = \frac{66}{2}$
$x = 33$
【答案】：
(1) 上车乘客有 $\frac{13a - 9b}{2}$ 人；
(2) 当 $a = 12$，$b = 10$ 时，上车乘客有 33 人。
(1) 根据题意，大客车上原有 $(3a - b)$ 人，中途下车一半人，所以剩下的人数为 $\frac{3a - b}{2}$ 人。
又上车若干人后，车上共有 $(8a - 5b)$ 人。
设上车乘客有 $x$ 人，则根据题意有：
$\frac{3a - b}{2} + x = 8a - 5b$
解这个方程，我们得到：
$x = (8a - 5b) - \frac{3a - b}{2}$
$x = \frac{16a - 10b - 3a + b}{2}$
$x = \frac{13a - 9b}{2}$
或者写作混合数形式：
$x = \frac{1}{2}(13a - 9b) = \frac{13}{2}a - \frac{9}{2}b$
但通常我们保留分数形式以更清晰地展示整式的结构。
(2) 当 $a = 12$，$b = 10$ 时，
将这两个值代入 $x = \frac{13a - 9b}{2}$，我们得到：
$x = \frac{13 × 12 - 9 × 10}{2}$
$x = \frac{156 - 90}{2}$
$x = \frac{66}{2}$
$x = 33$
【答案】：
(1) 上车乘客有 $\frac{13a - 9b}{2}$ 人；
(2) 当 $a = 12$，$b = 10$ 时，上车乘客有 33 人。
变式练4 小丽放学回家后准备完成下面的题目：化简$ (□x^2 - 6x + 8) + (6x - 5x^2 - 2) $,发现系数“□”印刷不清楚.
(1)她把“□”猜成3,请你化简$ (3x^2 - 6x + 8) + (6x - 5x^2 - 2) $；
(2)她妈妈说：“你猜错了,我看到该题的标准答案是6.”通过计算说明原题中“□”是几.
(1)她把“□”猜成3,请你化简$ (3x^2 - 6x + 8) + (6x - 5x^2 - 2) $；
(2)她妈妈说：“你猜错了,我看到该题的标准答案是6.”通过计算说明原题中“□”是几.
答案：
【解析】：
本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减运算法则，即合并同类项。
(1) 对于第一个小问题，将“□”视为3，然后按照整式的加减运算法则进行化简。
(2) 对于第二个小问题，需要先将原式化简，然后根据标准答案反推出“□”的值。
【答案】：
(1)解：
$(3x^{2} - 6x + 8) + (6x - 5x^{2} - 2)$
$= 3x^{2} - 5x^{2} - 6x + 6x + 8 - 2$
$= - 2x^{2} + 6$
(2)设“□”为$a$，
则原式$= (ax^{2} - 6x + 8) + (6x - 5x^{2} - 2)$
$= ax^{2} - 5x^{2} - 6x + 6x + 8 - 2$
$= (a - 5)x^{2} + 6$
因为标准答案是6，即$(a - 5)x^{2} + 6 = 6$，
所以$a - 5 = 0$，
解得$a = 5$，
所以原题中“□”是5。
本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减运算法则，即合并同类项。
(1) 对于第一个小问题，将“□”视为3，然后按照整式的加减运算法则进行化简。
(2) 对于第二个小问题，需要先将原式化简，然后根据标准答案反推出“□”的值。
【答案】：
(1)解：
$(3x^{2} - 6x + 8) + (6x - 5x^{2} - 2)$
$= 3x^{2} - 5x^{2} - 6x + 6x + 8 - 2$
$= - 2x^{2} + 6$
(2)设“□”为$a$，
则原式$= (ax^{2} - 6x + 8) + (6x - 5x^{2} - 2)$
$= ax^{2} - 5x^{2} - 6x + 6x + 8 - 2$
$= (a - 5)x^{2} + 6$
因为标准答案是6，即$(a - 5)x^{2} + 6 = 6$，
所以$a - 5 = 0$，
解得$a = 5$，
所以原题中“□”是5。
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