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例题1 对于多项式$ (n - 1)x^{m + 2} - 3x^2 + 2x $(其中$ m $是大于-2的整数).
(1)若$ n = 2 $,且该多项式是关于$ x $的三次三项式,求$ m $的值；
(2)若该多项式是关于$ x $的二次单项式,求$ m $,$ n $的值；
(3)若该多项式是关于$ x $的二次二项式,则$ m $,$ n $要满足什么条件？
(1)若$ n = 2 $,且该多项式是关于$ x $的三次三项式,求$ m $的值；
(2)若该多项式是关于$ x $的二次单项式,求$ m $,$ n $的值；
(3)若该多项式是关于$ x $的二次二项式,则$ m $,$ n $要满足什么条件？
答案：
【解析】：
(1)当$n = 2$时，多项式为$(2 - 1)x^{m + 2} - 3x^2 + 2x=x^{m + 2} - 3x^2 + 2x$。
因为该多项式是关于$x$的三次三项式，根据多项式次数的定义，最高次项的次数为$3$，所以$m + 2 = 3$，解得$m = 1$。
(2)若该多项式是关于$x$的二次单项式，则多项式经过合并同类项后只能有一项且次数为$2$。
由$(n - 1)x^{m + 2} - 3x^2 + 2x = 0$（这里表示合并同类项后为单项式的情况），可得$n - 1 = - 2$（使$-3x^2$与$(n - 1)x^{m + 2}$合并同类项后系数不为$0$等情况分析），$m + 2 = 1$（保证次数为$2$），同时$m$是大于$-2$的整数。
解$n - 1 = - 2$得$n = - 1$，解$m + 2 = 1$得$m = - 1$。
(3)若该多项式是关于$x$的二次二项式，分三种情况讨论：
情况1：当$n - 1 = 0$，即$n = 1$时，多项式为$-3x^2 + 2x$，此时$m$为大于$-2$的任意整数，多项式是二次二项式。
情况2：若$(n - 1)x^{m + 2}$与$-3x^2$为同类项，且和不为$0$，则$m + 2 = 2$，即$m = 0$，且$n - 1\neq3$，即$n\neq4$，此时多项式是二次二项式。
情况3：若$(n - 1)x^{m + 2}$与$2x$为同类项，且和不为$0$，则$m + 2 = 1$，即$m = - 1$，且$n - 1\neq - 2$，即$n\neq - 1$，此时多项式是二次二项式。
【答案】：
(1)$m = 1$；
(2)$m = - 1$，$n = - 1$；
(3)$n = 1$，$m$为大于$-2$的任意整数；或$m = 0$，$n\neq4$；或$m = - 1$，$n\neq - 1$。
(1)当$n = 2$时，多项式为$(2 - 1)x^{m + 2} - 3x^2 + 2x=x^{m + 2} - 3x^2 + 2x$。
因为该多项式是关于$x$的三次三项式，根据多项式次数的定义，最高次项的次数为$3$，所以$m + 2 = 3$，解得$m = 1$。
(2)若该多项式是关于$x$的二次单项式，则多项式经过合并同类项后只能有一项且次数为$2$。
由$(n - 1)x^{m + 2} - 3x^2 + 2x = 0$（这里表示合并同类项后为单项式的情况），可得$n - 1 = - 2$（使$-3x^2$与$(n - 1)x^{m + 2}$合并同类项后系数不为$0$等情况分析），$m + 2 = 1$（保证次数为$2$），同时$m$是大于$-2$的整数。
解$n - 1 = - 2$得$n = - 1$，解$m + 2 = 1$得$m = - 1$。
(3)若该多项式是关于$x$的二次二项式，分三种情况讨论：
情况1：当$n - 1 = 0$，即$n = 1$时，多项式为$-3x^2 + 2x$，此时$m$为大于$-2$的任意整数，多项式是二次二项式。
情况2：若$(n - 1)x^{m + 2}$与$-3x^2$为同类项，且和不为$0$，则$m + 2 = 2$，即$m = 0$，且$n - 1\neq3$，即$n\neq4$，此时多项式是二次二项式。
情况3：若$(n - 1)x^{m + 2}$与$2x$为同类项，且和不为$0$，则$m + 2 = 1$，即$m = - 1$，且$n - 1\neq - 2$，即$n\neq - 1$，此时多项式是二次二项式。
【答案】：
(1)$m = 1$；
(2)$m = - 1$，$n = - 1$；
(3)$n = 1$，$m$为大于$-2$的任意整数；或$m = 0$，$n\neq4$；或$m = - 1$，$n\neq - 1$。
例题2 已知$ A = ax^2 - x - 1 $($ a $为常数),$ B = 3x^2 - 2x + 2 $.
(1)当$ a = \frac{1}{2} $时,化简$ B - 2A $；
(2)在(1)的条件下,若$ B - 2A - 2C = 0 $,求$ C $；
(3)若$ A 与 B 的和中不含 x^2 $项,求$ a $的值.
(1)当$ a = \frac{1}{2} $时,化简$ B - 2A $；
(2)在(1)的条件下,若$ B - 2A - 2C = 0 $,求$ C $；
(3)若$ A 与 B 的和中不含 x^2 $项,求$ a $的值.
答案：
【解析】：
(1)这一问主要考查整式的化简，需要先将$A$和$B$的表达式代入$B - 2A$，然后进行化简。当给出$a$的具体值时，再将其代入化简后的式子中求解。
(2)这一问主要考查等式的变形和整式的求解，需要先将$B - 2A$的表达式代入$B - 2A - 2C = 0$，然后通过移项和除法求解$C$。
(3)这一问主要考查整式相加后特定项的系数求解，需要先将$A$和$B$的表达式相加，然后根据题目条件“和中不含$x^2$项”设立等式求解$a$。
【答案】：
(1)解：
$B - 2A$
$= 3x^{2} - 2x + 2 - 2(ax^{2} - x - 1)$
$= 3x^{2} - 2x + 2 - 2ax^{2} + 2x + 2$
$= (3 - 2a)x^{2} + 4$
当$a = \frac{1}{2}$时，
原式$= (3 - 2 × \frac{1}{2})x^{2} + 4$
$= 2x^{2} + 4$
(2)解：
因为$B - 2A - 2C = 0$，
且由
(1)得$B - 2A = 2x^{2} + 4$，
所以$2x^{2} + 4 - 2C = 0$，
移项得$2C = 2x^{2} + 4$，
所以$C = x^{2} + 2$。
(3)解：
$A + B$
$= ax^{2} - x - 1 + 3x^{2} - 2x + 2$
$= (a + 3)x^{2} - 3x + 1$
因为$A$与$B$的和中不含$x^{2}$项，
所以$a + 3 = 0$，
解得$a = - 3$。
(1)这一问主要考查整式的化简，需要先将$A$和$B$的表达式代入$B - 2A$，然后进行化简。当给出$a$的具体值时，再将其代入化简后的式子中求解。
(2)这一问主要考查等式的变形和整式的求解，需要先将$B - 2A$的表达式代入$B - 2A - 2C = 0$，然后通过移项和除法求解$C$。
(3)这一问主要考查整式相加后特定项的系数求解，需要先将$A$和$B$的表达式相加，然后根据题目条件“和中不含$x^2$项”设立等式求解$a$。
【答案】：
(1)解：
$B - 2A$
$= 3x^{2} - 2x + 2 - 2(ax^{2} - x - 1)$
$= 3x^{2} - 2x + 2 - 2ax^{2} + 2x + 2$
$= (3 - 2a)x^{2} + 4$
当$a = \frac{1}{2}$时，
原式$= (3 - 2 × \frac{1}{2})x^{2} + 4$
$= 2x^{2} + 4$
(2)解：
因为$B - 2A - 2C = 0$，
且由
(1)得$B - 2A = 2x^{2} + 4$，
所以$2x^{2} + 4 - 2C = 0$，
移项得$2C = 2x^{2} + 4$，
所以$C = x^{2} + 2$。
(3)解：
$A + B$
$= ax^{2} - x - 1 + 3x^{2} - 2x + 2$
$= (a + 3)x^{2} - 3x + 1$
因为$A$与$B$的和中不含$x^{2}$项，
所以$a + 3 = 0$，
解得$a = - 3$。
变式练1 已知关于$ x 的整式 (|k| - 3)x^3 + (k - 3)x^2 - k $.
(1)若此整式是单项式,求$ k $的值；
(2)若此整式是二次多项式,求$ k $的值；
(3)若此整式是二项式,求$ k $的值.
(1)若此整式是单项式,求$ k $的值；
(2)若此整式是二次多项式,求$ k $的值；
(3)若此整式是二项式,求$ k $的值.
答案：
(1)解：若整式是单项式，则所有含x的项系数为0且常数项为0，
即$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\k - 3 = 0 \\-k = 0\end{cases}$，
由$|k| - 3 = 0$得$k = ±3$，由$k - 3 = 0$得$k = 3$，由$-k = 0$得$k = 0$，无公共解，所以不存在k使整式为单项式。
(2)解：若整式是二次多项式，则三次项系数为0，二次项系数不为0，
即$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$，
由$|k| - 3 = 0$得$k = ±3$，由$k - 3 ≠ 0$得$k ≠ 3$，所以$k = -3$。
(3)解：若整式是二项式，分三种情况：
①三次项系数为0，二次项与常数项不为0，即$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\k - 3 ≠ 0 \\-k ≠ 0\end{cases}$，解得$k = -3$；
②二次项系数为0，三次项与常数项不为0，即$\begin{cases}k - 3 = 0 \\|k| - 3 ≠ 0 \\-k ≠ 0\end{cases}$，由$k - 3 = 0$得$k = 3$，此时$|k| - 3 = 0$，不满足，无解；
③常数项为0，三次项与二次项不为0，即$\begin{cases}-k = 0 \\|k| - 3 ≠ 0 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$，解得$k = 0$。
综上，$k = -3$或$k = 0$。
(1)解：若整式是单项式，则所有含x的项系数为0且常数项为0，
即$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\k - 3 = 0 \\-k = 0\end{cases}$，
由$|k| - 3 = 0$得$k = ±3$，由$k - 3 = 0$得$k = 3$，由$-k = 0$得$k = 0$，无公共解，所以不存在k使整式为单项式。
(2)解：若整式是二次多项式，则三次项系数为0，二次项系数不为0，
即$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$，
由$|k| - 3 = 0$得$k = ±3$，由$k - 3 ≠ 0$得$k ≠ 3$，所以$k = -3$。
(3)解：若整式是二项式，分三种情况：
①三次项系数为0，二次项与常数项不为0，即$\begin{cases}|k| - 3 = 0 \\k - 3 ≠ 0 \\-k ≠ 0\end{cases}$，解得$k = -3$；
②二次项系数为0，三次项与常数项不为0，即$\begin{cases}k - 3 = 0 \\|k| - 3 ≠ 0 \\-k ≠ 0\end{cases}$，由$k - 3 = 0$得$k = 3$，此时$|k| - 3 = 0$，不满足，无解；
③常数项为0，三次项与二次项不为0，即$\begin{cases}-k = 0 \\|k| - 3 ≠ 0 \\k - 3 ≠ 0\end{cases}$，解得$k = 0$。
综上，$k = -3$或$k = 0$。
变式练2 (1)小刚做了一道数学题：已知两个多项式$ A 和 B $,其中$ B = 3x - 2y $,求$ A + B $. 他误将“$ A + B $”看成“$ A - B $”,结果求出的答案是$ x - y $,那么$ A + B $的结果应该是
(2)若关于$ x $,$ y 的两个多项式 3mx^2 + 2xy - 6x 与 9x^2 + nxy + 4y $的差中不含二次项,则$ m^n = $
$7x - 5y$
.(2)若关于$ x $,$ y 的两个多项式 3mx^2 + 2xy - 6x 与 9x^2 + nxy + 4y $的差中不含二次项,则$ m^n = $
9
.
答案：
【解析】：
(1) 本题主要考察整式的加减运算。
小刚误将"A+B"看作"A-B"，并得出了答案$x-y$。
根据这个信息，我们可以设$A = (x - y) + B$，即$A = (x - y) + (3x - 2y) = 4x - 3y$。
因此，$A + B = (4x - 3y) + (3x - 2y) = 7x - 5y$。
(2) 本题主要考察整式的加减运算以及二次项的概念。
首先计算两个多项式的差：
$(3mx^2 + 2xy - 6x) - (9x^2 + nxy + 4y)$
$= 3mx^2 + 2xy - 6x - 9x^2 - nxy - 4y$
$= (3m - 9)x^2 + (2 - n)xy - 6x - 4y$
由于差中不含二次项，所以二次项的系数必须为0，即：
$3m - 9 = 0$
$2 - n = 0$
解得：
$m = 3$
$n = 2$
所以，$m^n = 3^2 = 9$。
【答案】：
(1) $7x - 5y$
(2) $9$
(1) 本题主要考察整式的加减运算。
小刚误将"A+B"看作"A-B"，并得出了答案$x-y$。
根据这个信息，我们可以设$A = (x - y) + B$，即$A = (x - y) + (3x - 2y) = 4x - 3y$。
因此，$A + B = (4x - 3y) + (3x - 2y) = 7x - 5y$。
(2) 本题主要考察整式的加减运算以及二次项的概念。
首先计算两个多项式的差：
$(3mx^2 + 2xy - 6x) - (9x^2 + nxy + 4y)$
$= 3mx^2 + 2xy - 6x - 9x^2 - nxy - 4y$
$= (3m - 9)x^2 + (2 - n)xy - 6x - 4y$
由于差中不含二次项，所以二次项的系数必须为0，即：
$3m - 9 = 0$
$2 - n = 0$
解得：
$m = 3$
$n = 2$
所以，$m^n = 3^2 = 9$。
【答案】：
(1) $7x - 5y$
(2) $9$
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