《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

**例题6** 计算：$25×\frac{1}{5}+25×\frac{1}{10}-25×\frac{1}{2}$。
 

答案： 【解析】：
本题考查有理数的乘法运算，特别是乘法分配律的应用。
首先，观察原式，发现每一项都有一个公共因数25，因此可以逆用乘法分配律，将原式改写为：
$25 × \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} - \frac{1}{2} \right)$，
然后，计算括号内的有理数加减运算：
$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} - \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$，
最后，将括号内的结果乘以25：
$25 × \left( -\frac{1}{5} \right) = -5$。
【答案】：
-5

**例题7** 李老师利用假期带领7名学生到市区社会实践，汽车票每张原价为30元，现在有两种优惠方案：方案一是所有成员全部打8折；方案二是学生打9折，教师免票。请问李老师他们采用哪种方案购票比较划算？
 

答案： 【解析】：
本题主要考察有理数的乘法运算以及有理数的大小比较。
首先，我们需要计算两种方案的总价格，然后进行比较。
方案一的总价格是所有成员（包括老师和学生）都打8折，即$(7 + 1) × 30 × 0.8$。
方案二的总价格是学生打9折，教师免票，即$7 × 30 × 0.9$。
最后，我们比较两种方案的总价格，选择价格更低的方案。
【答案】：
解：
方案一的总价格为：$(7 + 1) × 30 × 0.8 = 192$（元）；
方案二的总价格为：$7 × 30 × 0.9 = 189$（元）。
因为$189＜192$，
所以方案二更划算。
答：李老师他们采用方案二购票比较划算。

**变式练1** 计算：
(1)$(-\frac{3}{7})×(-\frac{4}{5})$；
(2)$(-5)×(-\frac{3}{32})×\frac{7}{30}×0×(-325)$。
 

答案： 【解析】：
本题考查了有理数的乘法法则及任何数与0相乘结果都为0的性质。
(1) 对于两个负数相乘，结果为正数，并把它们的绝对值相乘。
(2) 对于多个有理数相乘，如果其中有一个因子是0，则整个乘积为0。
【答案】：
(1) 解：
$(-\frac{3}{7}) × (-\frac{4}{5})$
$= \frac{3}{7} × \frac{4}{5}$
$= \frac{12}{35}$
(2) 解：
$(-5) × (-\frac{3}{32}) × \frac{7}{30} × 0 × (-325)$
$= 0$ （因为任何数与0相乘都等于0）

**变式练2** 计算：
(1)$(-5)×\frac{4}{9}×0×(-32)$。
(2)$(-8)×9×(-1.25)×(-\frac{1}{9})$。
 

答案： 【解析】：
本题考查了有理数的乘法法则，特别是乘法运算中零的特殊性质以及负负得正的规则。
(1) 对于第一个表达式，由于存在因子0，任何数与0相乘都等于0，因此无需进行其他计算即可得出结果。
(2) 对于第二个表达式，需要按照有理数乘法的规则，先确定符号，再计算绝对值的乘积。这里既有负数也有正数，因此需要特别注意负负得正和负正得负的规则。
【答案】：
(1) 解：
原式 $= (-5) × \frac{4}{9} × 0 × (-32)$
$= 0$ （因为任何数与0相乘都等于0）
(2) 解：
原式 $= (-8) × 9 × (-1.25) × (-\frac{1}{9})$
$= - (8 × 1.25 × 9 × \frac{1}{9})$ （先确定符号，负数与负数相乘得正数，但这里有三个负数，所以结果为负数；再计算绝对值的乘积）
$= - 10$ （因为 $8 × 1.25 = 10$，且 $9 × \frac{1}{9} = 1$）

**变式练3** 计算：$(-\frac{3}{4})×(-8+\frac{10}{3}-\frac{1}{2})$。
 

答案： 【解析】：
本题考查的是有理数的乘法分配律，即$a(b+c) = ab + ac$。
首先，我们需要将括号内的各项与括号外的数相乘，再将得到的积相加。
具体步骤如下：
1. 将$-\frac{3}{4}$分别与$-8$，$\frac{10}{3}$，$-\frac{1}{2}$相乘。
2. 将得到的积相加。
【答案】：
解：
$(-\frac{3}{4})×(-8+\frac{10}{3}-\frac{1}{2})$
$= (-\frac{3}{4})×(-8) + (-\frac{3}{4})×(\frac{10}{3}) + (-\frac{3}{4})×(-\frac{1}{2})$
$= 6 - \frac{5}{2} + \frac{3}{8}$
$= \frac{48}{8} - \frac{20}{8} + \frac{3}{8}$
$= \frac{31}{8}$
所以，$(-\frac{3}{4})×(-8+\frac{10}{3}-\frac{1}{2}) = \frac{31}{8}$。

**变式练4** 计算：
(1)$(-\frac{1}{7})÷(-7)=$______；
(2)$\frac{3}{7}÷(-\frac{9}{14})=$______。
 

答案：
(1)解：$(-\frac{1}{7})÷(-7)$
$=(-\frac{1}{7})×(-\frac{1}{7})$
$=\frac{1}{49}$
(2)解：$\frac{3}{7}÷(-\frac{9}{14})$
$=\frac{3}{7}×(-\frac{14}{9})$
$=-\frac{3×14}{7×9}$
$=-\frac{2}{3}$

**变式练5-1** 阅读后回答问题：
计算：$(-\frac{5}{2})÷(-15)×(-\frac{1}{15})$。
 

答案： 【解析】：
本题主要考察有理数的乘除法运算规则及运算顺序。
(1) 分析学生给出的解法：
学生试图通过先计算括号内的乘积来简化表达式，但这是错误的，因为原式中的运算顺序应该是先进行除法，再进行乘法，而不是先计算括号内的乘法。
学生错误地将原式$-\frac{5}{2}÷[(-15)×(-\frac{1}{15})]$中的括号内的乘法提前计算了，这违反了运算的优先级规则。
因此，学生的解法在第一步就出现了错误。
(2) 计算正确答案：
首先，我们按照运算的优先级，先进行除法运算：
$(-\frac{5}{2}) ÷ (-15) = \frac{5}{2} × \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$
接着，我们将上一步的结果与$-\frac{1}{15}$相乘：
$\frac{1}{6} × (-\frac{1}{15}) = -\frac{1}{90}$
【答案】：
(1) 上述的解法不正确，错在第一步（代号①），错误的原因是运算顺序错误，没有按照从左到右的顺序进行计算，而是先计算了括号内的乘法。
(2) 这道计算题的正确答案应该是$-\frac{1}{90}$。

**变式练5-2** 计算：$(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{9})÷(-\frac{1}{36})+36÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{9})$。

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的混合运算，包括加减、除法以及括号内的运算。
首先，我们需要计算括号内的表达式 $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9}$，然后，进行除法和加法运算。
为了简化计算，我们可以先找出括号内表达式的简化结果，然后分别进行除法和加法。
计算括号内的表达式：
$\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$
接下来，我们进行除法和加法运算：
$(\frac{4}{9}) ÷ (-\frac{1}{36}) + 36 ÷ (\frac{4}{9})$
$= \frac{4}{9} × (-36) + 36 × \frac{9}{4}$
$= -16 + 81$
$= 65$
【答案】：
65

**变式练6** 计算：$4×(-3\frac{6}{7})-3×(-3\frac{6}{7})-6×3\frac{6}{7}$。
* 

答案： 解：原式$=4×(-3\frac{6}{7}) - 3×(-3\frac{6}{7}) - 6×3\frac{6}{7}$
$=4×(-3\frac{6}{7}) - 3×(-3\frac{6}{7}) + 6×(-3\frac{6}{7})$
$=(-3\frac{6}{7})×(4 - 3 + 6)$
$=(-\frac{27}{7})×7$
$=-27$

**变式练7** 一家商店将某种电器按进价加价20%作为标价，随后又打出九折（即标价的90%）优惠大促销的广告。小明在优惠大促销的广告单上看到的该电器的价格是2700元，这种电器的进价是多少元？
 

答案： 【解析】：
本题主要考察有理数的乘法与除法在实际问题中的应用，特别是百分比和折扣的计算。
设电器的进价为$x$元。
根据题意，标价是进价加价$20\%$，即标价为$x × (1 + 20\%) = x × 1.2$。
随后商店又给出九折的优惠，所以促销价格是标价的$90\%$，即$0.9 × 1.2x$。
根据题意，这个促销价格是$2700$元。
因此，可以建立方程：
$0.9 × 1.2x = 2700$，
解这个方程，就可以找到电器的进价$x$。
【答案】：
解：设这种电器的进价是$x$元，
根据题意，经过加价和打折后的价格是进价的$1.2 × 0.9$倍，即$1.08$倍。
所以有方程：
$1.08x = 2700$，
解这个方程，得到：
$x = \frac{2700}{1.08} = 2500$，
所以，这种电器的进价是$2500$元。