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例题1 下列式子:$\frac{ab}{8},-2x,-\frac{7}{3}abc,2a - m,0.56,\frac{2ab}{3}$,其中单项式有(
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案：
解：单项式是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。所给式子中，$\frac{ab}{8}$是数$\frac{1}{8}$与字母$a$、$b$的积，是单项式；$-2x$是数$-2$与字母$x$的积，是单项式；$-\frac{7}{3}abc$是数$-\frac{7}{3}$与字母$a$、$b$、$c$的积，是单项式；$2a - m$是多项式，不是单项式；$0.56$是单独的一个数，是单项式；$\frac{2ab}{3}$是数$\frac{2}{3}$与字母$a$、$b$的积，是单项式。所以单项式有$\frac{ab}{8},-2x,-\frac{7}{3}abc,0.56,\frac{2ab}{3}$，共5个。
答案：C
答案：C
例题2 下列代数式中多项式的个数是(
①$a$;②$2x^{2}+2xy + y^{2}$;③$a + 1$;④$a^{2}-\frac{1}{b}$;⑤$-\frac{1}{4}(x + y)$.
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)①$a$;②$2x^{2}+2xy + y^{2}$;③$a + 1$;④$a^{2}-\frac{1}{b}$;⑤$-\frac{1}{4}(x + y)$.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
【解析】：
首先，我们需要明确什么是多项式。多项式是由一个或多个单项式组成的代数式，且多项式中的每一项的次数都是非负整数。
接下来，我们逐一判断给出的代数式是否为多项式：
① $a$：这是一个单独的字母，不是多项式，而是单项式。
② $2x^{2}+2xy + y^{2}$：这是由三个单项式组成的代数式，且每一项的次数都是非负整数，所以是多项式。
③ $a + 1$：这是由两个单项式组成的代数式，且每一项的次数都是非负整数（其中1的次数为0），所以是多项式。
④ $a^{2}-\frac{1}{b}$：虽然第一项$a^{2}$是单项式，但第二项$-\frac{1}{b}$不是单项式（因为它的次数不是非负整数，且含有分母），所以整体不是多项式。
⑤ $-\frac{1}{4}(x + y)$：这是由两个单项式$-\frac{1}{4}x$和$-\frac{1}{4}y$组成的代数式，且每一项的次数都是非负整数，所以是多项式。
综上所述，多项式有②、③、⑤，共3个。
【答案】：C。
首先，我们需要明确什么是多项式。多项式是由一个或多个单项式组成的代数式，且多项式中的每一项的次数都是非负整数。
接下来，我们逐一判断给出的代数式是否为多项式：
① $a$：这是一个单独的字母，不是多项式，而是单项式。
② $2x^{2}+2xy + y^{2}$：这是由三个单项式组成的代数式，且每一项的次数都是非负整数，所以是多项式。
③ $a + 1$：这是由两个单项式组成的代数式，且每一项的次数都是非负整数（其中1的次数为0），所以是多项式。
④ $a^{2}-\frac{1}{b}$：虽然第一项$a^{2}$是单项式，但第二项$-\frac{1}{b}$不是单项式（因为它的次数不是非负整数，且含有分母），所以整体不是多项式。
⑤ $-\frac{1}{4}(x + y)$：这是由两个单项式$-\frac{1}{4}x$和$-\frac{1}{4}y$组成的代数式，且每一项的次数都是非负整数，所以是多项式。
综上所述，多项式有②、③、⑤，共3个。
【答案】：C。
例题3 若关于x,y的多项式$3x^{2}-nx^{m}y - x$是一个三次三项式,且最高次项的系数是-3,求$m - n$的值.
答案：
【解析】：
题目指出多项式$3x^{2}-nx^{m}y - x$是一个三次三项式，且最高次项的系数是-3。
多项式中各项的次数是各个字母的指数之和。
在$3x^{2}$中，次数是2（因为$x$的指数是2）。
在$-nx^{m}y$中，次数是$m+1$（因为$x$的指数是$m$，$y$的指数是1）。
由于多项式是三次的，所以最高次项的次数必须是3。
因此，$m+1=3$，解得$m=2$。
最高次项$-nx^{m}y$的系数是-3，即$-n=-3$，解得$n=3$。
最后，求$m-n$的值，即$2-3=-1$。
【答案】：
$m - n = -1$。
题目指出多项式$3x^{2}-nx^{m}y - x$是一个三次三项式，且最高次项的系数是-3。
多项式中各项的次数是各个字母的指数之和。
在$3x^{2}$中，次数是2（因为$x$的指数是2）。
在$-nx^{m}y$中，次数是$m+1$（因为$x$的指数是$m$，$y$的指数是1）。
由于多项式是三次的，所以最高次项的次数必须是3。
因此，$m+1=3$，解得$m=2$。
最高次项$-nx^{m}y$的系数是-3，即$-n=-3$，解得$n=3$。
最后，求$m-n$的值，即$2-3=-1$。
【答案】：
$m - n = -1$。
变式练1 在代数式$a + b,\frac{3}{7}x^{2},\frac{5}{a},-m,0,\frac{a + b}{3a - b},\frac{3x - y}{2}$中,单项式的个数是(
A.6
B.5
C.4
D.3
D
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案：
解：根据单项式的定义（由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式），分析各代数式：
$a + b$：是多项式，不是单项式；
$\frac{3}{7}x^{2}$：是数与字母的积，是单项式；
$\frac{5}{a}$：分母含有字母，不是单项式；
$-m$：单独的一个字母，是单项式；
$0$：单独的一个数，是单项式；
$\frac{a + b}{3a - b}$：分母含有字母，不是单项式；
$\frac{3x - y}{2}$：是多项式，不是单项式。
综上，单项式有$\frac{3}{7}x^{2}$，$-m$，$0$，共3个。
答案：D
$a + b$：是多项式，不是单项式；
$\frac{3}{7}x^{2}$：是数与字母的积，是单项式；
$\frac{5}{a}$：分母含有字母，不是单项式；
$-m$：单独的一个字母，是单项式；
$0$：单独的一个数，是单项式；
$\frac{a + b}{3a - b}$：分母含有字母，不是单项式；
$\frac{3x - y}{2}$：是多项式，不是单项式。
综上，单项式有$\frac{3}{7}x^{2}$，$-m$，$0$，共3个。
答案：D
变式练2 在式子$a,2x^{2}+y,\frac{1}{x},-5,3m - 3n$中,多项式的个数是(
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案：
【解析】：
本题主要考察多项式的定义，即若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。
首先，我们逐一判断给出的式子是否为多项式：
$a$：这是一个单项式，因为它只包含一个项。
$2x^{2}+y$：这是一个多项式，因为它由两个单项式 $2x^{2}$ 和 $y$ 组成。
$\frac{1}{x}$：这不是一个多项式，因为分母含有字母。
$-5$：这是一个单项式，因为它只包含一个项，即常数项。
$3m - 3n$：这是一个多项式，因为它由两个单项式 $3m$ 和 $-3n$ 组成。
所以，在给定的式子中，多项式有 $2x^{2}+y$ 和 $3m - 3n$，共2个。
【答案】：
C.2
本题主要考察多项式的定义，即若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。
首先，我们逐一判断给出的式子是否为多项式：
$a$：这是一个单项式，因为它只包含一个项。
$2x^{2}+y$：这是一个多项式，因为它由两个单项式 $2x^{2}$ 和 $y$ 组成。
$\frac{1}{x}$：这不是一个多项式，因为分母含有字母。
$-5$：这是一个单项式，因为它只包含一个项，即常数项。
$3m - 3n$：这是一个多项式，因为它由两个单项式 $3m$ 和 $-3n$ 组成。
所以，在给定的式子中，多项式有 $2x^{2}+y$ 和 $3m - 3n$，共2个。
【答案】：
C.2
变式练3 若整式$x^{n - 2}-5x + 2$是关于x的三次三项式,则$3n - n^{2}$等于(
A.0
B.-9
C.-12
D.-10
D
)A.0
B.-9
C.-12
D.-10
答案：
【解析】：
本题主要考查整式的定义以及代数式的求值。
首先根据整式的定义，我们知道整式$x^{n - 2}-5x + 2$是一个关于x的三次三项式，即最高次项的次数为3。
因此，我们可以得到方程$n - 2 = 3$，解这个方程我们可以得到$n = 5$。
然后我们将$n = 5$代入到$3n - n^{2}$中，得到$3 × 5 - 5^{2} = 15 - 25 = -10$。
【答案】：
D. $-10$。
本题主要考查整式的定义以及代数式的求值。
首先根据整式的定义，我们知道整式$x^{n - 2}-5x + 2$是一个关于x的三次三项式，即最高次项的次数为3。
因此，我们可以得到方程$n - 2 = 3$，解这个方程我们可以得到$n = 5$。
然后我们将$n = 5$代入到$3n - n^{2}$中，得到$3 × 5 - 5^{2} = 15 - 25 = -10$。
【答案】：
D. $-10$。
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