《2025年初中必刷题七年级数学上册人教版》

例题2 已知$a$,$m$,$n$均为有理数,且满足$\vert a - m\vert = 5$,$\vert n - a\vert = 3$,那么$\vert m - n\vert$的值为2或8。

答案： 【解析】：
本题主要考察绝对值的性质和有理数的加减法运算。
首先，根据题目给出的条件，有$\vert a - m\vert = 5$和$\vert n - a\vert = 3$，由绝对值的定义，可以得出$a - m = \pm5$和$n - a = \pm3$。
接着，可以将$m$和$n$分别用$a$表示，即$m = a \pm 5$，$n = a \pm 3$。
然后，需要求$\vert m - n\vert$的值，将$m$和$n$的表达式代入，得到$\vert m - n\vert = \vert(a \pm 5) - (a \pm 3)\vert$。
最后，分四种情况讨论：
当$m = a + 5$，$n = a + 3$时，$\vert m - n\vert = \vert 5 - 3 \vert = 2$；
当$m = a - 5$，$n = a + 3$时，$\vert m - n\vert = \vert -5 - 3 \vert = 8$；
当$m = a + 5$，$n = a - 3$时，$\vert m - n\vert = \vert 5 - (-3) \vert = 8$；
当$m = a - 5$，$n = a - 3$时，$\vert m - n\vert = \vert -5 - (-3) \vert = 2$。
所以，$\vert m - n\vert$的值为2或8。
【答案】：
2或8

例题3 一口水井,水面比井口低3米,一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬,第一次往上爬了0.5米,却下滑了0.15米；第二次往上爬了0.42米,却下滑了0.1米；第三次往上爬了0.7米,却下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米,却下滑了0.1米；第五次往上爬了0.55米,却下滑了0.1米；第六次往上爬了0.49米,没有下滑。问蜗牛有没有爬出井口？
 

答案： 【解析】：
本题考查了有理数的加法与减法在实际问题中的应用。
首先，我们需要理解题目中的“往上爬”和“往下滑”分别对应着正数和负数。
然后，我们将每次爬升和下滑的距离进行加减运算，得出蜗牛爬升的总距离。
最后，我们将这个总距离与井的深度进行比较，即可判断蜗牛是否爬出井口。
具体计算过程如下：
设蜗牛往上爬为正，往下滑为负，那么蜗牛爬升的总距离为：
$0.5 - 0.15 + 0.42 - 0.1 + 0.7 - 0.15 + 0.75 - 0.1 + 0.55 - 0.1 + 0.49 = 2.81$（米）
由于井的深度为3米，而蜗牛爬升的总距离为2.81米，小于井的深度，所以蜗牛没有爬出井口。
【答案】：
蜗牛没有爬出井口。因为蜗牛爬升的总距离为2.81米，小于井的深度3米。

(1) 填空：$\vert - 1 + \frac{1}{2}\vert + \vert - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\vert + \vert - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\vert + … + \vert - \frac{1}{9} + \frac{1}{10}\vert =$$\frac{9}{10}$。
(2) 已知$\vert a\vert = 2$,$\vert b\vert = 3$,$\vert c\vert = 4$,且$a ＞ b ＞ c$,那么$a - 2b + c = $$4$或$0$。

答案：
(1) 解：
$\begin{aligned}&\vert -1 + \frac{1}{2}\vert + \vert -\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\vert + \vert -\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\vert + \dots + \vert -\frac{1}{9} + \frac{1}{10}\vert\\=&\vert -\frac{1}{2}\vert + \vert -\frac{1}{6}\vert + \vert -\frac{1}{12}\vert + \dots + \vert -\frac{1}{90}\vert\\=&\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{90}\\=&\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)\\=&1 - \frac{1}{10}\\=&\frac{9}{10}\end{aligned}$
(2) 解：
∵$\vert a\vert = 2$，$\vert b\vert = 3$，$\vert c\vert = 4$，
∴$a = \pm 2$，$b = \pm 3$，$c = \pm 4$。
∵$a ＞ b ＞ c$，
∴$b = -3$，$c = -4$，$a = 2$或$a = -2$（$a = -2$时，$-2 ＞ -3 ＞ -4$成立；$a = 2$时，$2 ＞ -3 ＞ -4$成立）。
当$a = 2$，$b = -3$，$c = -4$时：
$a - 2b + c = 2 - 2×(-3) + (-4) = 2 + 6 - 4 = 4$；
当$a = -2$，$b = -3$，$c = -4$时：
$a - 2b + c = -2 - 2×(-3) + (-4) = -2 + 6 - 4 = 0$。
综上，$a - 2b + c = 4$或$0$。
答案：
(1) $\frac{9}{10}$；
(2) $4$或$0$

变式练3 有一批罐头,现抽取10听样品进行检测,结果如下表(单位：克)：
|听号|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|质量|444|459|454|459|454|454|449|459|454|464|
请你用简单的方法计算出这10听罐头的总质量。
 

答案： 解：以450克为基准，超过的克数记为正数，不足的克数记为负数，10听罐头的质量与基准数的差值分别为：
-6，+9，+4，+9，+4，+4，-1，+9，+4，+14
计算这些差值的和：
(-6) + 9 + 4 + 9 + 4 + 4 + (-1) + 9 + 4 + 14
= [(-6) + (-1)] + (9 + 9 + 9 + 14) + (4 + 4 + 4 + 4)
= (-7) + 41 + 16
= 50
总质量为：450×10 + 50 = 4550（克）
答：这10听罐头的总质量为4550克。