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知识点 5 等式的性质
|性质|内容|字母表示|示例|
|两个基本事实|对称性：如果$a = b$,那么$b = a$；传递性：如果$a = b$,$b = c$,那么$a = c$| |若$a = 2$,$2 = c$,则$a = c$|
|性质 1|等式两边⑪
|性质 2|等式两边乘⑭
|性质|内容|字母表示|示例|
|两个基本事实|对称性：如果$a = b$,那么$b = a$；传递性：如果$a = b$,$b = c$,那么$a = c$| |若$a = 2$,$2 = c$,则$a = c$|
|性质 1|等式两边⑪
加上
(或⑫减去
)同一个数(或式子),结果仍相等|如果$a = b$,那么$a \pm c = $⑬$b \pm c$
|若$x = y$,则$x \pm 3 = y \pm 3$||性质 2|等式两边乘⑭
同一个数
,或除以⑮同一个不为$0$的数
,结果仍相等|如果$a = b$,那么$ac = $⑯$bc$
；如果$a = b(c \neq 0)$,那么$\frac{a}{c} = $⑰$\frac{b}{c}$
注意 5|若$a = b$,则$a × 3 = b × 3$,$\frac{a}{3} = \frac{b}{3}$|
答案：
【解析】：
这道题目考查的是等式的性质，包括等式的对称性、传递性以及等式两边进行相同运算后等式仍然成立的性质。题目中给出了等式的一些基本性质，并要求填写等式性质的具体内容。
对于性质1，需要填写的是等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍然相等。这是等式性质的一个重要方面，也是解决这类题目的关键。
对于性质2，需要填写的是等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍然相等。这是等式性质的另一个重要方面，同样需要注意在除以一个数时，这个数不能为零。
【答案】：
⑪加上 ；⑫减去 ；⑬$b \pm c$ ；⑭同一个数 ；⑮同一个不为$0$的数 ；⑯$bc$ ；⑰$\frac{b}{c}$。
这道题目考查的是等式的性质，包括等式的对称性、传递性以及等式两边进行相同运算后等式仍然成立的性质。题目中给出了等式的一些基本性质，并要求填写等式性质的具体内容。
对于性质1，需要填写的是等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍然相等。这是等式性质的一个重要方面，也是解决这类题目的关键。
对于性质2，需要填写的是等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍然相等。这是等式性质的另一个重要方面，同样需要注意在除以一个数时，这个数不能为零。
【答案】：
⑪加上 ；⑫减去 ；⑬$b \pm c$ ；⑭同一个数 ；⑮同一个不为$0$的数 ；⑯$bc$ ；⑰$\frac{b}{c}$。
例题 1 若$(m - 4)x^{2|m| - 7} - 4m = 0是关于x$的一元一次方程,求$m^{2} - 2m + 1$的值.
答案：
【解析】：本题可根据一元一次方程的定义求出$m$的值，再将$m$的值代入$m^{2} - 2m + 1$中计算。
一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为$1$且两边都为整式的等式。
在本题中，方程$(m - 4)x^{2|m| - 7} - 4m = 0$是一元一次方程，所以需要满足未知数的最高次数为$1$，即$2|m| - 7 = 1$，同时一次项系数不为$0$，即$m - 4\neq 0$。
先求解方程$2|m| - 7 = 1$：
移项可得$2|m|=1 + 7$，即$2|m| = 8$，两边同时除以$2$，得到$|m| = 4$，则$m = \pm 4$。
再结合$m - 4\neq 0$，即$m\neq 4$，所以$m = - 4$。
最后将$m = - 4$代入$m^{2} - 2m + 1$求值。
【答案】：
解：由题意，得$2|m| - 7 = 1$，且$m - 4\neq 0$。
由$2|m| - 7 = 1$，
移项可得$2|m|=1 + 7$，即$2|m| = 8$，
两边同时除以$2$，得$|m| = 4$，
所以$m = \pm 4$。
又因为$m - 4\neq 0$，即$m\neq 4$，
所以$m = - 4$。
当$m = - 4$时，
$m^{2} - 2m + 1$
$=(-4)^{2} - 2× (-4) + 1$
$=16 + 8 + 1$
$= 25$
所以$m^{2} - 2m + 1$的值为$25$。
一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为$1$且两边都为整式的等式。
在本题中，方程$(m - 4)x^{2|m| - 7} - 4m = 0$是一元一次方程，所以需要满足未知数的最高次数为$1$，即$2|m| - 7 = 1$，同时一次项系数不为$0$，即$m - 4\neq 0$。
先求解方程$2|m| - 7 = 1$：
移项可得$2|m|=1 + 7$，即$2|m| = 8$，两边同时除以$2$，得到$|m| = 4$，则$m = \pm 4$。
再结合$m - 4\neq 0$，即$m\neq 4$，所以$m = - 4$。
最后将$m = - 4$代入$m^{2} - 2m + 1$求值。
【答案】：
解：由题意，得$2|m| - 7 = 1$，且$m - 4\neq 0$。
由$2|m| - 7 = 1$，
移项可得$2|m|=1 + 7$，即$2|m| = 8$，
两边同时除以$2$，得$|m| = 4$，
所以$m = \pm 4$。
又因为$m - 4\neq 0$，即$m\neq 4$，
所以$m = - 4$。
当$m = - 4$时，
$m^{2} - 2m + 1$
$=(-4)^{2} - 2× (-4) + 1$
$=16 + 8 + 1$
$= 25$
所以$m^{2} - 2m + 1$的值为$25$。
变式练 1 若方程$(k - 2) \cdot x^{|k - 1|} + 5k + 1 = 0是关于x$的一元一次方程,则$k + x = $
$\frac{1}{2}$
.
答案：
【解析】：
首先我们需要确定$x$的最高次数为$1$，并且$x$的系数不为$0$，以满足一元一次方程的定义。
由方程$(k - 2) \cdot x^{|k - 1|} + 5k + 1 = 0$，
我们可以看到$x$的次数是$|k - 1|$，
所以我们有第一个方程：$|k - 1| = 1$。
同时我们还需要保证$x$前面的系数$(k-2)$不为$0$，
所以我们有第二个方程：$k - 2 \neq 0$。
现在我们来解第一个方程$|k - 1| = 1$，
这个方程有两个$k - 1 = 1$ 或 $k - 1 = -1$，
解得$k = 2$ 或 $k = 0$。
但由第二个方程$k - 2 \neq 0$我们知道$k \neq 2$，
所以我们只能选择$k = 0$。
将$k = 0$代入原方程，
得到$-2x + 1 = 0$，
解这个方程我们得到$x = \frac{1}{2}$。
所以$k + x = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
【答案】：
$\frac{1}{2}$
首先我们需要确定$x$的最高次数为$1$，并且$x$的系数不为$0$，以满足一元一次方程的定义。
由方程$(k - 2) \cdot x^{|k - 1|} + 5k + 1 = 0$，
我们可以看到$x$的次数是$|k - 1|$，
所以我们有第一个方程：$|k - 1| = 1$。
同时我们还需要保证$x$前面的系数$(k-2)$不为$0$，
所以我们有第二个方程：$k - 2 \neq 0$。
现在我们来解第一个方程$|k - 1| = 1$，
这个方程有两个$k - 1 = 1$ 或 $k - 1 = -1$，
解得$k = 2$ 或 $k = 0$。
但由第二个方程$k - 2 \neq 0$我们知道$k \neq 2$，
所以我们只能选择$k = 0$。
将$k = 0$代入原方程，
得到$-2x + 1 = 0$，
解这个方程我们得到$x = \frac{1}{2}$。
所以$k + x = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
【答案】：
$\frac{1}{2}$
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