《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社七年级数学》

8. 如图 7,直线 a,b,c 相交于点$O,∠1=$$2∠2,∠3-∠1=30^{\circ }$,则$∠4$的度数是(A)

A.$30^{\circ }$
B.$15^{\circ }$
C.$20^{\circ }$
D.$60^{\circ }$

答案： A

9. 如图 8,有以下四种说法:①$∠1$和$∠4$是同位角;②$∠3$和$∠5$是内错角;③$∠2$和$∠6$是同旁内角;④$∠2$和$∠5$是同位角.其中正确的说法有(C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

10. 如图 9,若$OE⊥AB,∠2$比$∠1$大$60^{\circ }$,则$∠AOC$的度数为$15^{\circ}$,$∠BOC$的度数为$165^{\circ}$.

答案： $15^{\circ}$ $165^{\circ}$

11. 如图 10,已知$DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180^{\circ }$,试判断 BF 与AC 的位置关系,并说明理由.
BF 与AC 的位置关系是BF⊥AC。
理由：$\because\angle AGF=\angle ABC$，$\therefore$BC//GF，$\therefore\angle1=\angle3$。
又$\because\angle1+\angle2=180^{\circ}$，$\therefore\angle$2$+\angle$3$=180^{\circ}$，$\therefore$BF//DE。
$\because DE\perp AC$，$\therefore BF\perp AC$。

答案： 证明：$BF$与$AC$的位置关系是$BF\perp AC$。
理由：$\because\angle AGF=\angle ABC$，$\therefore BC// GF$，$\therefore\angle1=\angle3$。
又$\because\angle1+\angle2=180^{\circ}$，$\angle2+\angle3=180^{\circ}$，$\therefore BF// DE$。
$\therefore DE\perp AC$，$\therefore BF\perp AC$。

12. 如图 11,$∠1=∠C,BE⊥DF$于点 P.
(1)若$∠2=55^{\circ }$,求$∠B$的度数;
解：∵∠1 = ∠C(已知)，
∴BE // CF(同位角相等，两直线平行)，
∴∠B = ∠2 = 55°(两直线平行，同位角相等)。
(2)若$∠2+∠D=90^{\circ }$,求证:$AB// CD.$
证明：∵BE ⊥ DF(已知)，
∴∠DPE = 90°(垂直的定义)。
∵BE // CF(已证)，
∴∠CFD = ∠DPE = 90°(两直线平行，同位角相等)，
∴∠2 + ∠BFD = 180 - ∠CFD = 90°(平角的定义)。
∵∠2 + ∠D = 90°(已知)，
∴∠BFD = ∠D(同角的余角相等)，
∴AB // CD(内错角相等，两直线平行)。

答案：  
(1)$解：∵∠1 = ∠C(已知)，$
$∴BE // CF(同位角相等，两直线平行)，$
$∴∠B = ∠2 = 55°(两直线平行，同位角相等)。$
$(2)证明：∵BE ⊥ DF(已知)，$
$∴∠DPE = 90°(垂直的定义)。$
$∵BE // CF(已证)，$
$∴∠CFD = ∠DPE = 90°(两直线平行，同位角相等)，$
$∴∠2 + ∠BFD = 180 - ∠CFD = 90°(平角的定义)。$
$∵∠2 + ∠D = 90°(已知)，$
$∴∠BFD = ∠D(同角的余角相等)，$
$∴AB // CD(内错角相等，两直线平行)。$

13. 如图 12,直线$AB// CD$,M,N 分别在直线AB,CD 上,MB 平分$∠FME$,NE 平分$∠FND$,且$2∠E+∠F=174^{\circ }$,求$∠FME$的度数.

$116^{\circ}$

答案： $\angle FME = 116^{\circ}$