《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社七年级数学》

9. 如图 7，$ A B // C D $，则角 $ \alpha $，$ \beta $，$ \gamma $ 之间的关系为（C）

A. $ \alpha + \beta + \gamma = 180 ^ { \circ } $
B. $ \alpha - \beta + \gamma = 180 ^ { \circ } $
C. $ \alpha + \beta - \gamma = 180 ^ { \circ } $
D. $ \alpha + \beta + \gamma = 90 ^ { \circ } $

答案： C

10. 如图 8 所示，将一个黑板刷在黑板上平移，平移距离为 $ 10 \mathrm { ~ cm } $，下列说法不正确的是（D）

A. 四个顶点都平移了 $ 10 \mathrm { ~ cm } $
B. 平移后与平移前黑板刷位置发生变化，所占面积未变化
C. 对应点所连线段互相平行
D. 水平平移距离为 $ 10 \mathrm { ~ cm } $

答案： D

11. 如图 9，$ A B // E F // C D $，$ E G // B D $，则图中与 $ \angle 1 $ 相等的角（不包括 $ \angle 1 $）共有5个.

答案： 5

12. 如图 10，直线 $ A B $，$ C D $ 相交于点 $ O $，$ O E $ 平分 $ \angle A O C $，$ E O \perp F O $ 于点 $ O $，若 $ \angle B O D = 72 ^ { \circ } $，则 $ \angle D O F $ 的度数是126$ ^ { \circ } $.

答案： 126

13. 把“对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.

答案： 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等

14. 如图 11，已知 $ \angle 1 = \angle 2 $，再添上什么条件可使 $ A B // C D $ 成立? 请就你添上的条件证明 $ A B // C D $.

添上$ E B \perp M N $，$ F D \perp M N $.
$证明：∵EB⊥MN，FD⊥MN$
$∴∠EBM=∠FDM=90°$
$∵∠1=∠2$
$∴∠EBM-∠1=∠FDM-∠2$
$∴∠ABM=∠CDM$
$∴AB//CD$

答案： 添上 $ E B \perp M N $，$ F D \perp M N $.
$证明：∵EB⊥MN，FD⊥MN$
$∴∠EBM=∠FDM=90°$
$∵∠1=∠2$
$∴∠EBM-∠1=∠FDM-∠2$
$∴∠ABM=∠CDM$
$∴AB//CD$

15. 如图 12，直线 $ C D $，$ E F $ 相交于点 $ O $，已知 $ O A $，$ O B $ 分别平分 $ \angle C O E $ 和 $ \angle D O E $，且 $ A B // C D $.
(1) 求证：$ \angle 1 + \angle 2 = $$90^{\circ}$；
(2) 若 $ \angle 2 : \angle 3 = 2 : 5 $，求 $ \angle A O E $ 的度数.$50^{\circ}$

答案：
(1)
∵ $OA$，$OB$ 分别平分 $\angle COE$ 和 $\angle DOE$，
∴ $\angle AOC=\frac{1}{2}\angle COE$，$\angle 2=\frac{1}{2}\angle DOE$，
∵ $\angle COE+\angle DOE = 180^{\circ}$，
∴ $\angle AOC+\angle 2=\frac{1}{2}\angle COE+\frac{1}{2}\angle DOE=\frac{1}{2}(\angle COE+\angle DOE)=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$，
∵ $AB// CD$，
∴ $\angle AOC=\angle 1$，
∴ $\angle 1+\angle 2 = 90^{\circ}$；
(2)
∵ $\angle 2:\angle 3 = 2:5$，$\angle 2=\frac{1}{2}\angle DOE$，
∴ $\angle DOE:\angle 3 = 4:5$，
∵ $\angle DOE+\angle 3 = 180^{\circ}$，
∴ $\angle 3 = 180^{\circ}\times\frac{5}{9}=100^{\circ}$，
∴ $\angle COE=\angle 3 = 100^{\circ}$，
∵ $OA$ 平分 $\angle COE$，
∴ $\angle AOE=\frac{1}{2}\angle COE = 50^{\circ}$。