《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社七年级数学》

8. 如图6,$AB// CD$,那么$∠A+∠C+∠AEC$等于(A)

A. $360^{\circ }$
B. $270^{\circ }$
C. $200^{\circ }$
D. $180^{\circ }$

答案： A

9. 将一个三角尺与两边平行的纸条按如图7所示放置,下列结论:①$∠1=∠2$;②$∠3=∠4$;③$∠2+∠4=90^{\circ }$;④$∠4+∠5=180^{\circ }$.其中正确的个数是(D)

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D

10. 一大门的栏杆如图8所示,BA垂直于地面AE于点A,CD平行于地面AE,则$∠ABC+∠BCD=$270度.

答案： 270

11. 如图9,已知直线$AB// CD,∠GEB$的平分线EF交CD于点F.若$∠1=42^{\circ }$,则$∠2=$$159^{\circ}$.

答案： $159^{\circ}$

12. 如图10,$AB// DE,∠1=∠ACB$,AC平分$∠BAD$.
(1)求证:$AD// BC$;
(2)若$∠B=80^{\circ }$,求$∠ADE$的度数.

(1) 证明: ∵ $ AB // DE $ (已知),
∴ $ \angle 1 = \angle BAC $ (两直线平行, 同位角相等),
∵ $ AC $ 平分 $ \angle BAD $ (已知),
∴ $ \angle BAC = \angle DAC $,
∴ $ \angle 1 = \angle DAC $ (等量代换),
∵ $ \angle 1 = \angle ACB $ (已知),
∴ $ \angle DAC = \angle ACB $ (等量代换),
∴ $ AD // BC $ (内错角相等, 两直线平行)。
 (2)$80^{\circ}$

答案：
(1) 证明:
∵ $ AB // DE $ (已知),
∴ $ \angle 1 = \angle BAC $ (两直线平行, 同位角相等),
∵ $ AC $ 平分 $ \angle BAD $ (已知),
∴ $ \angle BAC = \angle DAC $,
∴ $ \angle 1 = \angle DAC $ (等量代换),
∵ $ \angle 1 = \angle ACB $ (已知),
∴ $ \angle DAC = \angle ACB $ (等量代换),
∴ $ AD // BC $ (内错角相等, 两直线平行)。
 
(2)$\angle ADE=80^{\circ}$

13. 如图11,l表示一条弯曲的小河,m表示一条笔直的公路,点A,B表示两个村庄.
(1)在小河哪处架桥可以使A村和B村之间的路程最短? 作出图形,并将桥的位置记为点P;
(2)为了方便A村村民出行,现计划在公路边新建一个公交站点,使得A村到该公交站点的距离最短,作出图形,并将公交站点的位置记为点Q.

答案：
解：如图所示：

14. 如图12,已知直线$a// b$,三角形ABC为直角三角形,$∠BCA=90^{\circ },∠BAC=30^{\circ }$.
(1)在图12①中,$∠1=46^{\circ }$,求$∠2$的度数;
(2)如图12②,把直线a向上平移,并把$∠2$的位置改变,求证:$∠2-∠1=120^{\circ }$.

答案：
$(1)$44°
$(2)证明：过点B作BD//a，则BD//a//b$

$∴∠2+∠ABD=180°，∠1=∠DBC$
$∵∠BCA=90°，∠BAC=30°$
$∴∠ABC=90°-30°=60°$
$∴∠ABD=60°-∠DBC=60°-∠1$
$∴∠2+60°-∠1=180°$
$即∠2-∠1=120°$