《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社七年级数学》

10. 若$m = \sqrt{40} - 4$，估计m的值所在的范围是（B）
A. $1 ＜ m ＜ 2$
B. $2 ＜ m ＜ 3$
C. $3 ＜ m ＜ 4$
D. $4 ＜ m ＜ 5$

答案： B

11. 负实数a的倒数是（B）
A. $-a$
B. $\frac{1}{a}$
C. $-\frac{1}{a}$
D. a

答案： B

12. 已知a，b为两个连续的整数，且$a ＜ \sqrt{11} ＜ b$，则$a + b =$7.

答案： 7

13. 计算：$\sqrt{(3 - \pi)^2} + \sqrt{(4 - \pi)^2} =$1.

答案： 1

14. 若a为$\sqrt{170}$的整数部分，$b - 3$是400的算术平方根，则$\sqrt{a + b} =$6.

答案： 6

15. 观察下列各式：$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$，$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$，将猜想得到的规律用含自然数$n(n \geq 1)$的式子表示出来：$ \sqrt { n + \frac { 1 } { n + 2 } } = ( n + 1 ) \sqrt { \frac { 1 } { n + 2 } } $.

答案： $ \sqrt { n + \frac { 1 } { n + 2 } } = ( n + 1 ) \sqrt { \frac { 1 } { n + 2 } } $

16. 已知$x - 2$的平方根是$\pm 2$，$2x + y + 7$的立方根是3，求$x^2 + y^2$的算术平方根.

答案： 10

17. 已知$x = 1 - 2a$，$y = 3a - 4$.
（1）若x的算术平方根为3，求a的值；-4
（2）若一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数.25

答案： $(1)$ 求$a$的值
- 已知$x$的算术平方根为$3$，根据算术平方根的定义：若一个非负数$m$的算术平方根为$n$，则$m = n^2$，可得$x = 3^2=9$。
- 又因为$x = 1 - 2a$，所以$1 - 2a = 9$。
- 移项可得：$-2a=9 - 1$，即$-2a = 8$。
- 两边同时除以$-2$：$a=\frac{8}{-2}=-4$。
$(2)$ 求这个正数
- 因为一个正数的平方根分别为$x$，$y$，根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，所以$x + y = 0$。
- 把$x = 1 - 2a$，$y = 3a - 4$代入$x + y = 0$，可得$(1 - 2a)+(3a - 4)=0$。
- 去括号：$1 - 2a+3a - 4 = 0$。
- 合并同类项：$(-2a + 3a)+(1 - 4)=0$，即$a - 3 = 0$。
- 解得$a = 3$。
- 把$a = 3$代入$x = 1 - 2a$，得$x = 1-2×3=1 - 6=-5$。
- 再根据平方根与原数的关系：若$m$是正数$n$的平方根，则$n = m^2$，所以这个正数为$x^{2}=(-5)^{2}=25$。
综上，答案为$(1)a = - 4$；$(2)25$。

18. 计算下列各式的结果：
（1）$\sqrt{1^3} =$1；
（2）$\sqrt{1^3 + 2^3} =$3；
（3）$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3} =$6；
（4）$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3} =$10；
（5）仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想：$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + 100^3}$的结果是5050.

答案：
(1)1
(2)3
(3)6
(4)10
(5)5 050