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13. 阅读下列材料：小明为了计算$1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{2024}+2^{2025}$的值，采用以下方法。
设$S = 1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{2024}+2^{2025}$，①
则$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2025}+2^{2026}$。②
② - ①，得$2S - S = S = 2^{2026}-1$。
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1) $1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{9}=$____；
(2) $3 + 3^{2}+\cdots+3^{10}=$____；
(3) 求$1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}$的结果$(a＞0,n$是正整数，请写出计算过程)。
设$S = 1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{2024}+2^{2025}$，①
则$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2025}+2^{2026}$。②
② - ①，得$2S - S = S = 2^{2026}-1$。
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1) $1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{9}=$____；
(2) $3 + 3^{2}+\cdots+3^{10}=$____；
(3) 求$1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}$的结果$(a＞0,n$是正整数，请写出计算过程)。
答案：
【解析】：
(1)设$S = 1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{9}$，①
则$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}+2^{10}$，②
② - ①得：$2S - S=S = 2^{10}-1$。
(2)设$S = 3 + 3^{2}+\cdots+3^{10}$，①
则$3S = 3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{10}+3^{11}$，②
② - ①得：$3S - S = 2S=3^{11}-3$，所以$S=\frac{3^{11}-3}{2}$。
(3)当$a = 1$时，$1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}=1 + 1+\cdots+1$（$n + 1$个$1$相加）$=n + 1$；
当$a\neq1$时，设$S = 1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}$，①
则$aS = a + a^{2}+a^{3}+\cdots+a^{n}+a^{n + 1}$，②
② - ①得：$aS - S=(a - 1)S=a^{n + 1}-1$，所以$S=\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}$。
综上，$1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}=\begin{cases}n + 1(a = 1)\\\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}(a\neq1)\end{cases}$。
【答案】：
(1)$2^{10}-1$；
(2)$\frac{3^{11}-3}{2}$；
(3)当$a = 1$时，结果为$n + 1$；当$a\neq1$时，结果为$\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}$。
(1)设$S = 1 + 2 + 2^{2}+\cdots+2^{9}$，①
则$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{9}+2^{10}$，②
② - ①得：$2S - S=S = 2^{10}-1$。
(2)设$S = 3 + 3^{2}+\cdots+3^{10}$，①
则$3S = 3^{2}+3^{3}+\cdots+3^{10}+3^{11}$，②
② - ①得：$3S - S = 2S=3^{11}-3$，所以$S=\frac{3^{11}-3}{2}$。
(3)当$a = 1$时，$1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}=1 + 1+\cdots+1$（$n + 1$个$1$相加）$=n + 1$；
当$a\neq1$时，设$S = 1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}$，①
则$aS = a + a^{2}+a^{3}+\cdots+a^{n}+a^{n + 1}$，②
② - ①得：$aS - S=(a - 1)S=a^{n + 1}-1$，所以$S=\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}$。
综上，$1 + a + a^{2}+\cdots+a^{n}=\begin{cases}n + 1(a = 1)\\\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}(a\neq1)\end{cases}$。
【答案】：
(1)$2^{10}-1$；
(2)$\frac{3^{11}-3}{2}$；
(3)当$a = 1$时，结果为$n + 1$；当$a\neq1$时，结果为$\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}$。
老师在课堂上给同学们出了一道猜数游戏题，规则是：同学们在心中想好一个除$0$以外的数，然后按以下顺序进行计算。
(1) 把这个数加上$2$后再平方。
(2) 然后再减去$4$。
(3) 再除以所想的那个数，得到一个商。
最后把商告诉老师，老师能立即猜出同学们所想的数。你能说出其中的奥秘吗？
(1) 把这个数加上$2$后再平方。
(2) 然后再减去$4$。
(3) 再除以所想的那个数，得到一个商。
最后把商告诉老师，老师能立即猜出同学们所想的数。你能说出其中的奥秘吗？
答案：
【解析】：设同学们心中所想的数为$x(x\neq0)$。
1. 按照规则第一步，把这个数加上$2$后再平方，可得到$(x + 2)^{2}$。
2. 第二步，然后再减去$4$，则式子变为$(x + 2)^{2}-4$，根据完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$展开$(x + 2)^{2}-4$得：
$(x + 2)^{2}-4=x^{2}+4x + 4-4=x^{2}+4x$。
3. 第三步，再除以所想的那个数$x$，得到商为$\frac{x^{2}+4x}{x}$，因为$x\neq0$，对$\frac{x^{2}+4x}{x}$进行化简，根据分式的运算法则$\frac{a + b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}(c\neq0)$，可得$\frac{x^{2}+4x}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{4x}{x}=x + 4$。
设同学们告诉老师的商为$y$，即$y=x + 4$，那么$x=y - 4$。所以老师只要用同学们告诉的商减去$4$，就可以得到同学们所想的数。
【答案】：设同学们心中所想的数为$x(x\neq0)$，按规则计算后的商为$x + 4$，老师用学生告知的商减去$4$就能得到学生所想的数。
1. 按照规则第一步，把这个数加上$2$后再平方，可得到$(x + 2)^{2}$。
2. 第二步，然后再减去$4$，则式子变为$(x + 2)^{2}-4$，根据完全平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$展开$(x + 2)^{2}-4$得：
$(x + 2)^{2}-4=x^{2}+4x + 4-4=x^{2}+4x$。
3. 第三步，再除以所想的那个数$x$，得到商为$\frac{x^{2}+4x}{x}$，因为$x\neq0$，对$\frac{x^{2}+4x}{x}$进行化简，根据分式的运算法则$\frac{a + b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}(c\neq0)$，可得$\frac{x^{2}+4x}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{4x}{x}=x + 4$。
设同学们告诉老师的商为$y$，即$y=x + 4$，那么$x=y - 4$。所以老师只要用同学们告诉的商减去$4$，就可以得到同学们所想的数。
【答案】：设同学们心中所想的数为$x(x\neq0)$，按规则计算后的商为$x + 4$，老师用学生告知的商减去$4$就能得到学生所想的数。
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