《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学北师大版》

5. 如图4-25，在$\triangle ABC$中，$AD$是$BC$边上的中线，$E$是$AB$边上一点，过点$C$作$CF// AB$且交$ED$的延长线于点$F$。
(1)试说明$\triangle BDE≌\triangle CDF$；
(2)当$AD⊥BC$，$AE = 1$，$CF = 2$时，求$AC$的长。

答案： 【解析】：
(1) 因为$CF// AB$，所以$\angle B = \angle FCD$，$\angle BED = \angle F$。
又因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle B = \angle FCD\\\angle BED = \angle F\\BD = CD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。
(2) 由$\triangle BDE\cong\triangle CDF$可知$BE = CF = 2$。
因为$AE = 1$，所以$AB = AE + BE = 1 + 2 = 3$。
又因为$AD\perp BC$，$BD = CD$，所以$AD$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$AC = AB = 3$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析；
(2) $3$

1. 数学课上，老师布置了测量某酸奶瓶内部底面的内径的探究任务。小熙想到了以下方案：如图4-26，用图钉将两根吸管$AD,BC$的中点$O$固定，只要测得$C,D$之间的距离，就可知道内径$AB$的长度。此方案依据的是( )

A. 边边边
B. 边角边
C. 全等三角形的对应角相等
D. 三角形的稳定性

答案： B

2. 如图4-27，$A,D,F,B$在同一直线上，$AE = BC$，且$AE// BC$。若要利用“边角边”说明$\triangle AEF≌\triangle BCD$，需添加的条件是________________。

答案： $AF = BD$（或$AD = BF$）

3. 在如图4-28所示的“风筝”图案中，$AB = AD$，$AC = AE$，$∠BAE = ∠DAC$。请说明$∠E = ∠C$。

答案： 【解析】：
因为$\angle BAE=\angle DAC$，所以$\angle BAE + \angle CAE=\angle DAC + \angle CAE$，即$\angle BAC=\angle DAE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle BAC=\angle DAE\\AC = AE\end{cases}$，根据“边角边”（SAS）定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$。
因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle E=\angle C$。
【答案】：
$\angle E=\angle C$