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1. 下列计算正确的是()
A. $x+x^{2}=x^{3}$
B. $(x^{2})^{3}=x^{5}$
C. $x^{6}÷x^{2}=x^{3}$
D. $x\cdot x^{2}=x^{3}$
A. $x+x^{2}=x^{3}$
B. $(x^{2})^{3}=x^{5}$
C. $x^{6}÷x^{2}=x^{3}$
D. $x\cdot x^{2}=x^{3}$
答案：
D
2. 若有理数$m,n$满足$\vert m - 2\vert+(n - 2050)^{2}=0$，则$m^{-1}+n^{0}=$____。
答案：
$\frac{3}{2}$
3. 若$2^{n}+2^{n}+2^{n}+2^{n}=2$，则$n$的值为____。
答案：
$-1$
4. $(2×10^{2})^{2}×(3×10^{-2})=$____。(结果用科学记数法表示)
答案：
$1.2×10^{3}$
5. 计算：$\vert - 3\vert+2025^{0}-2×(\frac{1}{2})^{-1}$。
答案：
【解析】：本题可根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则分别化简各项，再进行计算。
**步骤一：计算$\vert - 3\vert$的值**
根据绝对值的性质：正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
因为$-3$是负数，所以$\vert - 3\vert = 3$。
**步骤二：计算$2025^{0}$的值**
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1$（$a\neq0$）。
因为$2025\neq0$，所以$2025^{0} = 1$。
**步骤三：计算$2\times(\frac{1}{2})^{-1}$的值**
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
所以$2\times(\frac{1}{2})^{-1}=2\times2 = 4$。
**步骤四：计算原式的值**
将上述计算结果代入原式可得：
$\vert - 3\vert + 2025^{0} - 2\times(\frac{1}{2})^{-1}=3 + 1 - 4 = 0$。
【答案】：$0$
**步骤一：计算$\vert - 3\vert$的值**
根据绝对值的性质：正数和$0$的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
因为$-3$是负数，所以$\vert - 3\vert = 3$。
**步骤二：计算$2025^{0}$的值**
根据零指数幂的运算法则：任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1$（$a\neq0$）。
因为$2025\neq0$，所以$2025^{0} = 1$。
**步骤三：计算$2\times(\frac{1}{2})^{-1}$的值**
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
所以$2\times(\frac{1}{2})^{-1}=2\times2 = 4$。
**步骤四：计算原式的值**
将上述计算结果代入原式可得：
$\vert - 3\vert + 2025^{0} - 2\times(\frac{1}{2})^{-1}=3 + 1 - 4 = 0$。
【答案】：$0$
6. 化简：$4x^{3}÷(-2x)^{2}-(2x^{2}-x)÷\frac{1}{2}x$。
答案：
【解析】：
本题可根据幂的运算法则、多项式除以单项式的运算法则分别化简式子中的各项，再进行计算。
- **步骤一：化简$4x^{3}\div(-2x)^{2}$。**
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(-2x)^{2}$进行化简：
$(-2x)^{2}=(-2)^{2}x^{2}=4x^{2}$
再根据单项式除以单项式的运算法则，将$4x^{3}$除以$4x^{2}$：
$4x^{3}\div4x^{2}=(4\div4)x^{3 - 2}=x$
- **步骤二：化简$(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x$。**
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加：
$(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x=2x^{2}\div\frac{1}{2}x - x\div\frac{1}{2}x$
分别计算上式中的两项：
$2x^{2}\div\frac{1}{2}x=(2\div\frac{1}{2})x^{2 - 1}=4x$
$x\div\frac{1}{2}x=(1\div\frac{1}{2})x^{1 - 1}=2$
所以$(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x = 4x - 2$。
- **步骤三：计算化简后的式子。**
将上述化简结果代入原式可得：
$4x^{3}\div(-2x)^{2}-(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x=x-(4x - 2)$
去括号：$x-(4x - 2)=x - 4x + 2$
合并同类项：$x - 4x + 2=-3x + 2$
【答案】：$-3x + 2$
本题可根据幂的运算法则、多项式除以单项式的运算法则分别化简式子中的各项，再进行计算。
- **步骤一：化简$4x^{3}\div(-2x)^{2}$。**
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，对$(-2x)^{2}$进行化简：
$(-2x)^{2}=(-2)^{2}x^{2}=4x^{2}$
再根据单项式除以单项式的运算法则，将$4x^{3}$除以$4x^{2}$：
$4x^{3}\div4x^{2}=(4\div4)x^{3 - 2}=x$
- **步骤二：化简$(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x$。**
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加：
$(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x=2x^{2}\div\frac{1}{2}x - x\div\frac{1}{2}x$
分别计算上式中的两项：
$2x^{2}\div\frac{1}{2}x=(2\div\frac{1}{2})x^{2 - 1}=4x$
$x\div\frac{1}{2}x=(1\div\frac{1}{2})x^{1 - 1}=2$
所以$(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x = 4x - 2$。
- **步骤三：计算化简后的式子。**
将上述化简结果代入原式可得：
$4x^{3}\div(-2x)^{2}-(2x^{2}-x)\div\frac{1}{2}x=x-(4x - 2)$
去括号：$x-(4x - 2)=x - 4x + 2$
合并同类项：$x - 4x + 2=-3x + 2$
【答案】：$-3x + 2$
1. 下列计算正确的是（）
A. $(-3a^{3})^{2}=-9a^{5}$
B. $(-x)^{2}(-x^{3})=x^{5}$
C. $(-\frac{5}{4}x^{2})(-4ax)=5ax^{3}$
D. $(3x - 1)(x + 3)=3x^{2}-3$
A. $(-3a^{3})^{2}=-9a^{5}$
B. $(-x)^{2}(-x^{3})=x^{5}$
C. $(-\frac{5}{4}x^{2})(-4ax)=5ax^{3}$
D. $(3x - 1)(x + 3)=3x^{2}-3$
答案：
C
2. 已知$(x + 5)(x + n)=x^{2}+mx - 5$，则$m + n$的值为____。
答案：
$3$
3. 已知$ab = a + b + 1$，则$(a - 1)(b - 1)$的值为____。
答案：
$2$
4. 现有边长为$a$的$A$类正方形卡片和边长为$b$的$B$类正方形卡片及长为$a$、宽为$b$的$C$类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为$a + 2b$、宽为$2a + b$的大长方形，需要$A$类卡片____张，$B$类卡片____张，$C$类卡片____张。
答案：
$2$；$2$；$5$
5. 计算：
(1) $(x + y)(2a + b)$；
(2) $(y + 2z)(z - y)$；
(3) $(3x - 2y)(2x - 3y)$；
(4) $(3x + 2)(-x - 2)$。
(1) $(x + y)(2a + b)$；
(2) $(y + 2z)(z - y)$；
(3) $(3x - 2y)(2x - 3y)$；
(4) $(3x + 2)(-x - 2)$。
答案：
【解析】：
本题可根据多项式乘多项式的运算法则来进行计算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
**（1）计算$(x + y)(2a + b)$：**
根据上述法则，用$x$和$y$分别去乘$(2a + b)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(x + y)(2a + b)=x\times2a+x\times b+y\times2a+y\times b = 2ax + bx + 2ay + by$
**（2）计算$(y + 2z)(z - y)$：**
同样根据多项式乘多项式法则，用$y$和$2z$分别去乘$(z - y)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(y + 2z)(z - y)=y\times z-y\times y+2z\times z-2z\times y = yz - y^{2} + 2z^{2} - 2yz = -y^{2} - yz + 2z^{2}$
**（3）计算$(3x - 2y)(2x - 3y)$：**
用$3x$和$-2y$分别去乘$(2x - 3y)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(3x - 2y)(2x - 3y)=3x\times2x-3x\times3y-2y\times2x + 2y\times3y = 6x^{2} - 9xy - 4xy + 6y^{2} = 6x^{2} - 13xy + 6y^{2}$
**（4）计算$(3x + 2)(-x - 2)$：**
用$3x$和$2$分别去乘$(-x - 2)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(3x + 2)(-x - 2)=3x\times(-x)+3x\times(-2)+2\times(-x)+2\times(-2)= -3x^{2} - 6x - 2x - 4 = -3x^{2} - 8x - 4$
【答案】：
(1)$2ax + bx + 2ay + by$；
(2)$-y^{2} - yz + 2z^{2}$；
(3)$6x^{2} - 13xy + 6y^{2}$；
(4)$-3x^{2} - 8x - 4$。
本题可根据多项式乘多项式的运算法则来进行计算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
**（1）计算$(x + y)(2a + b)$：**
根据上述法则，用$x$和$y$分别去乘$(2a + b)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(x + y)(2a + b)=x\times2a+x\times b+y\times2a+y\times b = 2ax + bx + 2ay + by$
**（2）计算$(y + 2z)(z - y)$：**
同样根据多项式乘多项式法则，用$y$和$2z$分别去乘$(z - y)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(y + 2z)(z - y)=y\times z-y\times y+2z\times z-2z\times y = yz - y^{2} + 2z^{2} - 2yz = -y^{2} - yz + 2z^{2}$
**（3）计算$(3x - 2y)(2x - 3y)$：**
用$3x$和$-2y$分别去乘$(2x - 3y)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(3x - 2y)(2x - 3y)=3x\times2x-3x\times3y-2y\times2x + 2y\times3y = 6x^{2} - 9xy - 4xy + 6y^{2} = 6x^{2} - 13xy + 6y^{2}$
**（4）计算$(3x + 2)(-x - 2)$：**
用$3x$和$2$分别去乘$(-x - 2)$的每一项，再将所得的积相加，可得：
$(3x + 2)(-x - 2)=3x\times(-x)+3x\times(-2)+2\times(-x)+2\times(-2)= -3x^{2} - 6x - 2x - 4 = -3x^{2} - 8x - 4$
【答案】：
(1)$2ax + bx + 2ay + by$；
(2)$-y^{2} - yz + 2z^{2}$；
(3)$6x^{2} - 13xy + 6y^{2}$；
(4)$-3x^{2} - 8x - 4$。
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