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9. 4张长为$a$、宽为$b(a＞b)$的长方形纸片，按如图1-5所示的方式拼成一个边长为$a + b$的正方形，图中空白部分的面积为$S_{1}$，阴影部分的面积为$S_{2}$。若$S_{1}=2S_{2}$，则$a,b$满足的条件为____。
答案：
$a = 2b$
10. 观察下列等式：$7^{0}=1,7^{1}=7,7^{2}=49,7^{3}=343,7^{4}=2401,7^{5}=16807,\cdots$。根据其中的规律可得$7^{0}+7^{1}+\cdots+7^{2051}$的结果的个位数字是____。
答案：
$0$
11. 化简：$(2x - 1)^{2}+(x - 3)(x + 3)-4x(x - \frac{1}{2})$。
答案：
【解析】：本题可根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则分别化简式子中的各项，再合并同类项。
- **步骤一：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$化简$(2x - 1)^{2}$。**
在$(2x - 1)^{2}$中，$a = 2x$，$b = 1$，代入可得：
$(2x - 1)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 1 + 1^{2}=4x^{2}-4x + 1$
- **步骤二：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$化简$(x - 3)(x + 3)$。**
在$(x - 3)(x + 3)$中，$a = x$，$b = 3$，代入可得：
$(x - 3)(x + 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
- **步骤三：根据单项式乘多项式的运算法则化简$4x(x - \frac{1}{2})$。**
用单项式$4x$分别去乘多项式$x - \frac{1}{2}$的每一项，可得：
$4x(x - \frac{1}{2})=4x\times x - 4x\times\frac{1}{2}=4x^{2}-2x$
- **步骤四：将化简后的各项代入原式并合并同类项。**
$\begin{aligned}&(2x - 1)^{2}+(x - 3)(x + 3)-4x(x - \frac{1}{2})\\=&4x^{2}-4x + 1 + x^{2}-9 - (4x^{2}-2x)\\=&4x^{2}-4x + 1 + x^{2}-9 - 4x^{2}+2x\\=&(4x^{2}+x^{2}-4x^{2})+(-4x + 2x)+(1 - 9)\\=&x^{2}-2x - 8\end{aligned}$
【答案】：$x^{2}-2x - 8$
- **步骤一：根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$化简$(2x - 1)^{2}$。**
在$(2x - 1)^{2}$中，$a = 2x$，$b = 1$，代入可得：
$(2x - 1)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 1 + 1^{2}=4x^{2}-4x + 1$
- **步骤二：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$化简$(x - 3)(x + 3)$。**
在$(x - 3)(x + 3)$中，$a = x$，$b = 3$，代入可得：
$(x - 3)(x + 3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
- **步骤三：根据单项式乘多项式的运算法则化简$4x(x - \frac{1}{2})$。**
用单项式$4x$分别去乘多项式$x - \frac{1}{2}$的每一项，可得：
$4x(x - \frac{1}{2})=4x\times x - 4x\times\frac{1}{2}=4x^{2}-2x$
- **步骤四：将化简后的各项代入原式并合并同类项。**
$\begin{aligned}&(2x - 1)^{2}+(x - 3)(x + 3)-4x(x - \frac{1}{2})\\=&4x^{2}-4x + 1 + x^{2}-9 - (4x^{2}-2x)\\=&4x^{2}-4x + 1 + x^{2}-9 - 4x^{2}+2x\\=&(4x^{2}+x^{2}-4x^{2})+(-4x + 2x)+(1 - 9)\\=&x^{2}-2x - 8\end{aligned}$
【答案】：$x^{2}-2x - 8$
12. 先化简，再求值：$(a - 2b)(a + 2b)-(a - 2b)^{2}+8b^{2}$，其中$a = - 2,b = \frac{1}{2}$。
答案：
【解析】：
本题可先根据平方差公式、完全平方公式将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后将$a$、$b$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：利用平方差公式和完全平方公式展开式子**
平方差公式为$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，在$(a - 2b)(a + 2b)$中，$m = a$，$n = 2b$，则$(a - 2b)(a + 2b)=a^2 - (2b)^2=a^2 - 4b^2$。
完全平方公式为$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，在$(a - 2b)^{2}$中，$m = a$，$n = 2b$，则$(a - 2b)^{2}=a^2 - 2\times a\times 2b + (2b)^2=a^2 - 4ab + 4b^2$。
此时原式变为$a^2 - 4b^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$。
- **步骤二：去括号并合并同类项**
去括号法则为：括号前是“$+$”，把括号和它前面的“$+$”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
对$a^2 - 4b^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$去括号得：
$a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
合并同类项，即将同类项的系数相加，字母和指数不变，可得：
$(a^2 - a^2)+( - 4b^2 - 4b^2 + 8b^2)+ 4ab = 4ab$
- **步骤三：代入求值**
将$a = - 2$，$b = \frac{1}{2}$代入$4ab$可得：
$4\times(-2)\times\frac{1}{2}=-4$
【答案】：$-4$
本题可先根据平方差公式、完全平方公式将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后将$a$、$b$的值代入化简后的式子求值。
- **步骤一：利用平方差公式和完全平方公式展开式子**
平方差公式为$(m+n)(m - n)=m^2 - n^2$，在$(a - 2b)(a + 2b)$中，$m = a$，$n = 2b$，则$(a - 2b)(a + 2b)=a^2 - (2b)^2=a^2 - 4b^2$。
完全平方公式为$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，在$(a - 2b)^{2}$中，$m = a$，$n = 2b$，则$(a - 2b)^{2}=a^2 - 2\times a\times 2b + (2b)^2=a^2 - 4ab + 4b^2$。
此时原式变为$a^2 - 4b^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$。
- **步骤二：去括号并合并同类项**
去括号法则为：括号前是“$+$”，把括号和它前面的“$+$”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“$-$”，把括号和它前面的“$-$”去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
对$a^2 - 4b^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$去括号得：
$a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
合并同类项，即将同类项的系数相加，字母和指数不变，可得：
$(a^2 - a^2)+( - 4b^2 - 4b^2 + 8b^2)+ 4ab = 4ab$
- **步骤三：代入求值**
将$a = - 2$，$b = \frac{1}{2}$代入$4ab$可得：
$4\times(-2)\times\frac{1}{2}=-4$
【答案】：$-4$
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