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12. 如图5-37,点M和点N在∠AOB内部。
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)请说明作图理由。
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)请说明作图理由。
答案：
【解析】：
(1) 作图步骤：
作$\angle AOB$的平分线$OC$。
连接$MN$，作线段$MN$的垂直平分线$DE$，$DE$与$OC$的交点即为点$P$（作图痕迹：$\angle AOB$的平分线，线段$MN$的垂直平分线）。
(2) 作图理由：
因为点$P$在$\angle AOB$的平分线$OC$上，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点$P$到$\angle AOB$两边的距离相等。
又因为点$P$在线段$MN$的垂直平分线$DE$上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以$PM = PN$，即点$P$到点$M$和点$N$的距离相等。
【答案】：
(1) 作出$\angle AOB$的平分线与线段$MN$的垂直平分线，交点即为$P$（保留相应作图痕迹）。
(2) 角平分线上的点到角两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。
(1) 作图步骤：
作$\angle AOB$的平分线$OC$。
连接$MN$，作线段$MN$的垂直平分线$DE$，$DE$与$OC$的交点即为点$P$（作图痕迹：$\angle AOB$的平分线，线段$MN$的垂直平分线）。
(2) 作图理由：
因为点$P$在$\angle AOB$的平分线$OC$上，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以点$P$到$\angle AOB$两边的距离相等。
又因为点$P$在线段$MN$的垂直平分线$DE$上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以$PM = PN$，即点$P$到点$M$和点$N$的距离相等。
【答案】：
(1) 作出$\angle AOB$的平分线与线段$MN$的垂直平分线，交点即为$P$（保留相应作图痕迹）。
(2) 角平分线上的点到角两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。
13. 如图5-38,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,求∠CBE的度数。
答案：
【解析】：
- 因为$AB = AC$，$\angle A=40^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 40)^{\circ}=70^{\circ}$。
- 由于$DE$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE = BE$，那么$\angle ABE=\angle A = 40^{\circ}$。
- 最后求$\angle CBE$，$\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE$，即$\angle CBE=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
【答案】：$30^{\circ}$
- 因为$AB = AC$，$\angle A=40^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=\frac{1}{2}(180 - 40)^{\circ}=70^{\circ}$。
- 由于$DE$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE = BE$，那么$\angle ABE=\angle A = 40^{\circ}$。
- 最后求$\angle CBE$，$\angle CBE=\angle ABC-\angle ABE$，即$\angle CBE=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$。
【答案】：$30^{\circ}$
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