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11. 如图2-23，点A，B，C，D在同一条直线上，CE与BF交于点G，$∠A=∠1$，$CE// DF$，试说明$∠E=∠F$。
答案：
【解析】：
- 因为$∠A = ∠1$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AE// BF$。
- 由$AE// BF$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠E = ∠EGC$。
- 又因为$CE// DF$，根据“两直线平行，内错角相等”，则$∠EGC = ∠F$。
- 综上，通过等量代换可得$∠E = ∠F$。
【答案】：
$\because∠A = ∠1$，$\therefore AE// BF$（同位角相等，两直线平行），$\therefore∠E = ∠EGC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CE// DF$，$\therefore∠EGC = ∠F$（两直线平行，内错角相等），$\therefore∠E = ∠F$（等量代换）。
- 因为$∠A = ∠1$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AE// BF$。
- 由$AE// BF$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠E = ∠EGC$。
- 又因为$CE// DF$，根据“两直线平行，内错角相等”，则$∠EGC = ∠F$。
- 综上，通过等量代换可得$∠E = ∠F$。
【答案】：
$\because∠A = ∠1$，$\therefore AE// BF$（同位角相等，两直线平行），$\therefore∠E = ∠EGC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CE// DF$，$\therefore∠EGC = ∠F$（两直线平行，内错角相等），$\therefore∠E = ∠F$（等量代换）。
12. 将一副三角板拼成如图2-24所示的图形，过点C作CF平分$∠DCE$交DE于点F。
（1）试说明$CF// AB$；
（2）求$∠DFC$的度数。
（1）试说明$CF// AB$；
（2）求$∠DFC$的度数。
答案：
【解析】：
（1）已知三角板的角度，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$。
因为$CF$平分$\angle DCE$，根据角平分线定义，$\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\angle DCE$，所以$\angle 1 = 45^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，所以$\angle 1=\angle BAC$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$CF// AB$。
（2）在$\triangle DFC$中，已知$\angle D = 30^{\circ}$，$\angle 1 = 45^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle DFC=180^{\circ}-\angle D - \angle 1$。
把$\angle D = 30^{\circ}$，$\angle 1 = 45^{\circ}$代入可得：$\angle DFC=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$。
【答案】：
（1）$CF// AB$；（2）$105^{\circ}$
（1）已知三角板的角度，$\angle BAC = 45^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$。
因为$CF$平分$\angle DCE$，根据角平分线定义，$\angle 1=\angle 2=\frac{1}{2}\angle DCE$，所以$\angle 1 = 45^{\circ}$。
又因为$\angle BAC = 45^{\circ}$，所以$\angle 1=\angle BAC$。
根据内错角相等，两直线平行，可得$CF// AB$。
（2）在$\triangle DFC$中，已知$\angle D = 30^{\circ}$，$\angle 1 = 45^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，则$\angle DFC=180^{\circ}-\angle D - \angle 1$。
把$\angle D = 30^{\circ}$，$\angle 1 = 45^{\circ}$代入可得：$\angle DFC=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}$。
【答案】：
（1）$CF// AB$；（2）$105^{\circ}$
13. 如图2-25，$AB// CD$，$EF⊥AB$于点O，$∠2=135^{\circ}$，求$∠1$的度数。
下面提供三个思路：①过点F作$FH// AB$；②延长EF交CD于点I；③延长GF交AB于点K。请你利用三个思路中的任意一个，求$∠1$的度数。
下面提供三个思路：①过点F作$FH// AB$；②延长EF交CD于点I；③延长GF交AB于点K。请你利用三个思路中的任意一个，求$∠1$的度数。
答案：
【解析】：
### 方法一：过点$F$作$FH// AB$
因为$AB// CD$，$FH// AB$，根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以$FH// CD$。
因为$FH// CD$，所以$\angle2+\angle HFG = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$\angle2 = 135^{\circ}$，则$\angle HFG=180^{\circ}-\angle2 = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
因为$EF\perp AB$，$FH// AB$，所以$\angle EFH=\angle EOB = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
那么$\angle1 = 180^{\circ}-\angle EFH-\angle HFG=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
### 方法二：延长$EF$交$CD$于点$I$
因为$AB// CD$，$EF\perp AB$，所以$\angle EID=\angle EOB = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
因为$\angle2$与$\angle FGD$是邻补角，所以$\angle FGD = 180^{\circ}-\angle2=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
在$\triangle FIG$中，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\angle EID=\angle1+\angle FGD$。
所以$\angle1=\angle EID - \angle FGD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
### 方法三：延长$GF$交$AB$于点$K$
因为$AB// CD$，所以$\angle2+\angle AKG = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$\angle2 = 135^{\circ}$，则$\angle AKG=180^{\circ}-\angle2 = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
因为$EF\perp AB$，在$Rt\triangle FOK$中，$\angle1 = 90^{\circ}-\angle AKG$（直角三角形两锐角互余）。
所以$\angle1=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
【答案】：$45^{\circ}$
### 方法一：过点$F$作$FH// AB$
因为$AB// CD$，$FH// AB$，根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以$FH// CD$。
因为$FH// CD$，所以$\angle2+\angle HFG = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$\angle2 = 135^{\circ}$，则$\angle HFG=180^{\circ}-\angle2 = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
因为$EF\perp AB$，$FH// AB$，所以$\angle EFH=\angle EOB = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
那么$\angle1 = 180^{\circ}-\angle EFH-\angle HFG=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
### 方法二：延长$EF$交$CD$于点$I$
因为$AB// CD$，$EF\perp AB$，所以$\angle EID=\angle EOB = 90^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。
因为$\angle2$与$\angle FGD$是邻补角，所以$\angle FGD = 180^{\circ}-\angle2=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
在$\triangle FIG$中，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，$\angle EID=\angle1+\angle FGD$。
所以$\angle1=\angle EID - \angle FGD=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
### 方法三：延长$GF$交$AB$于点$K$
因为$AB// CD$，所以$\angle2+\angle AKG = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
已知$\angle2 = 135^{\circ}$，则$\angle AKG=180^{\circ}-\angle2 = 180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$。
因为$EF\perp AB$，在$Rt\triangle FOK$中，$\angle1 = 90^{\circ}-\angle AKG$（直角三角形两锐角互余）。
所以$\angle1=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$。
【答案】：$45^{\circ}$
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