《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学北师大版》

5.如图3−2,从A地到C地,可供选择
的方案是走水路、走陆路、走空中,从A地
到B地有两条水路、两条陆路,从B地到C
地有三条陆路可供选择,走空中,从A地
不经B地直接到C地,求从A地到C地可
供选择的方案共有几种。

答案： 【解析】：
- 计算经过$B$地的方案数：
从$A$地到$B$地的走法有$2 + 2=4$（种）（$2$条水路和$2$条陆路）。
从$B$地到$C$地有$3$条陆路，根据分步乘法计数原理，从$A$地经$B$地到$C$地的方案数为$4\times3 = 12$（种）。
计算不经过$B$地（走空中）的方案数：走空中从$A$地不经$B$地直接到$C$地，有$1$种方案。
计算总的方案数：根据分类加法计数原理，从$A$地到$C$地可供选择的方案共有$12 + 1=13$（种）。
【答案】：$13$种

1.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬
币试验”获得的数据如下表:
抛掷次数 100200300400500
正面朝上的频数539816202244
若抛掷硬币的次数为1000,则“正面
朝上”的频数最接近 ( )
A.20
B.300
C.500
D.800

答案： C

2.在一个不透明的口袋中装有4个红
球和若干个白球,它们除颜色外其他完全
相同。通过多次摸球试验后发现,摸到红
球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球
可能有 ( )
A.16个
B.15个
C.13个
D.12个

答案： D

3.一个不透明的盒子里放有编号为
1,2,3的3张其他完全相同的卡片,任意
抽出一张,抽到1号的可能性为________。

答案： $\frac{1}{3}$

4.在全国初中数学竞赛中,某市有
40名同学进入复赛,把他们的成绩分为
六组,第一组至第四组的人数分别为
10,5,7,6,第五组的频率是0.2,则第六组
的频率是________。

答案： $0.1$

5.某商场为了吸引顾客,举行抽奖活
动,并规定:顾客每购买100元的商品,就
可随机抽取一张奖券,抽得奖券“紫气东
来”“花开富贵”“吉星高照”,就可以分别
获得100元、50元、20元的购物券,抽得
“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不愿意
抽奖,可以直接获得购物券10元。小明购
买了100元的商品,他看到商场公布的前
10000张奖券的抽奖结果如下:
奖券种类紫气东来花开富贵吉星高照谢谢惠顾
出量现/张数 500 1000 2000 6500
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率。
(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接
获得购物券，哪种方式更合算？请说明
理由。

答案： 【解析】：
1. 首先明确频率的计算公式：
频率的计算公式为$频率 = \frac{频数}{总数}$。
在本题中，“紫气东来”奖券出现的频数是$500$，奖券的总数是$10000$。
所以“紫气东来”奖券出现的频率$f=\frac{500}{10000}=0.05$。
2. 然后计算抽奖获得购物券的平均金额：
设抽奖获得购物券的金额为$X$元。
已知“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”“谢谢惠顾”奖券出现的频数分别为$500$、$1000$、$2000$、$6500$，奖券总数$n = 10000$。
获得$100$元购物券的概率$P_1=\frac{500}{10000}=0.05$；获得$50$元购物券的概率$P_2=\frac{1000}{10000}=0.1$；获得$20$元购物券的概率$P_3=\frac{2000}{10000}=0.2$；获得$0$元购物券（“谢谢惠顾”）的概率$P_4=\frac{6500}{10000}=0.65$。
根据期望公式$E(X)=x_1P_1 + x_2P_2+x_3P_3 + x_4P_4$（其中$x_1 = 100$，$x_2 = 50$，$x_3 = 20$，$x_4 = 0$）。
则$E(X)=100\times0.05 + 50\times0.1+20\times0.2+0\times0.65$
先分别计算各项：$100\times0.05 = 5$，$50\times0.1 = 5$，$20\times0.2 = 4$，$0\times0.65 = 0$。
再求和：$E(X)=5 + 5+4+0=14$（元）。
因为$14\gt10$，所以抽奖更合算。
【答案】：
(1)$0.05$；
(2)抽奖更合算，理由：抽奖获得购物券的平均金额为$14$元，$14\gt10$，所以抽奖更合算。