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1. 下列计算不正确的是()
A. $a^{2}\cdot a^{4}=a^{3}\cdot a^{3}=a^{6}$
B. $a^{3}\cdot a^{3}=a^{9}$
C. $(-x)^{2}\cdot (-x)^{3}=-x^{5}$
D. $z\cdot z^{2}\cdot z^{3}=z^{6}$
A. $a^{2}\cdot a^{4}=a^{3}\cdot a^{3}=a^{6}$
B. $a^{3}\cdot a^{3}=a^{9}$
C. $(-x)^{2}\cdot (-x)^{3}=-x^{5}$
D. $z\cdot z^{2}\cdot z^{3}=z^{6}$
答案：
【解析】：本题可根据同底数幂的乘法法则来逐一分析选项。
- **选项A：**
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$（$m$、$n$为正整数）。
$a^{2}\cdot a^{4}=a^{2 + 4}=a^{6}$，$a^{3}\cdot a^{3}=a^{3 + 3}=a^{6}$，所以$a^{2}\cdot a^{4}=a^{3}\cdot a^{3}=a^{6}$，该选项**计算正确**。
- **选项B：**
同样根据同底数幂的乘法法则，$a^{3}\cdot a^{3}=a^{3 + 3}=a^{6}\neq a^{9}$，该选项**计算错误**。
- **选项C：**
先根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，可得$(-x)^{2}=x^{2}$，$(-x)^{3}=-x^{3}$。
则$(-x)^{2}\cdot (-x)^{3}=x^{2}\cdot (-x^{3})=-x^{2 + 3}=-x^{5}$，该选项**计算正确**。
- **选项D：**
根据同底数幂的乘法法则，$z\cdot z^{2}\cdot z^{3}=z^{1 + 2 + 3}=z^{6}$，该选项**计算正确**。
【答案】：B
- **选项A：**
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m\cdot a^n = a^{m + n}$（$m$、$n$为正整数）。
$a^{2}\cdot a^{4}=a^{2 + 4}=a^{6}$，$a^{3}\cdot a^{3}=a^{3 + 3}=a^{6}$，所以$a^{2}\cdot a^{4}=a^{3}\cdot a^{3}=a^{6}$，该选项**计算正确**。
- **选项B：**
同样根据同底数幂的乘法法则，$a^{3}\cdot a^{3}=a^{3 + 3}=a^{6}\neq a^{9}$，该选项**计算错误**。
- **选项C：**
先根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，可得$(-x)^{2}=x^{2}$，$(-x)^{3}=-x^{3}$。
则$(-x)^{2}\cdot (-x)^{3}=x^{2}\cdot (-x^{3})=-x^{2 + 3}=-x^{5}$，该选项**计算正确**。
- **选项D：**
根据同底数幂的乘法法则，$z\cdot z^{2}\cdot z^{3}=z^{1 + 2 + 3}=z^{6}$，该选项**计算正确**。
【答案】：B
2. (1) $(x+y)\cdot (x+y)^{4}=$____；
(2) $(b-a)^{2}\cdot (a-b)=$____；
(3) $x^{5}\cdot x^{3}-x^{2}\cdot x^{6}=$____；
(4) $-a^{2}\cdot (-a)^{2}\cdot (-a)^{3}=$____。
(2) $(b-a)^{2}\cdot (a-b)=$____；
(3) $x^{5}\cdot x^{3}-x^{2}\cdot x^{6}=$____；
(4) $-a^{2}\cdot (-a)^{2}\cdot (-a)^{3}=$____。
答案：
【解析】：
1. 对于$(x + y)\cdot(x + y)^{4}$：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，即$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数）。
这里底数是$(x + y)$，$m = 1$，$n = 4$，所以$(x + y)\cdot(x + y)^{4}=(x + y)^{1+4}=(x + y)^{5}$。
2. 对于$(b - a)^{2}\cdot(a - b)$：
因为$(b - a)^{2}=[-(a - b)]^{2}=(a - b)^{2}$。
再根据同底数幂相乘法则，$(a - b)^{2}\cdot(a - b)=(a - b)^{2 + 1}=(a - b)^{3}$。
3. 对于$x^{5}\cdot x^{3}-x^{2}\cdot x^{6}$：
先分别计算同底数幂相乘，$x^{5}\cdot x^{3}=x^{5 + 3}=x^{8}$，$x^{2}\cdot x^{6}=x^{2+6}=x^{8}$。
则$x^{5}\cdot x^{3}-x^{2}\cdot x^{6}=x^{8}-x^{8}=0$。
4. 对于$-a^{2}\cdot(-a)^{2}\cdot(-a)^{3}$：
先计算$(-a)^{2}=a^{2}$，$(-a)^{3}=-a^{3}$。
则原式$=-a^{2}\cdot a^{2}\cdot(-a^{3})$。
根据同底数幂相乘法则，$a^{2}\cdot a^{2}=a^{2 + 2}=a^{4}$，所以$-a^{2}\cdot a^{2}\cdot(-a^{3})=-a^{4}\cdot(-a^{3})$。
又因为$(-1)\times(-1)=1$，$a^{4}\cdot a^{3}=a^{4 + 3}=a^{7}$，所以$-a^{4}\cdot(-a^{3})=a^{7}$。
【答案】：
(1)$(x + y)^{5}$；
(2)$(a - b)^{3}$；
(3)$0$；
(4)$a^{7}$
1. 对于$(x + y)\cdot(x + y)^{4}$：
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的法则，即$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数）。
这里底数是$(x + y)$，$m = 1$，$n = 4$，所以$(x + y)\cdot(x + y)^{4}=(x + y)^{1+4}=(x + y)^{5}$。
2. 对于$(b - a)^{2}\cdot(a - b)$：
因为$(b - a)^{2}=[-(a - b)]^{2}=(a - b)^{2}$。
再根据同底数幂相乘法则，$(a - b)^{2}\cdot(a - b)=(a - b)^{2 + 1}=(a - b)^{3}$。
3. 对于$x^{5}\cdot x^{3}-x^{2}\cdot x^{6}$：
先分别计算同底数幂相乘，$x^{5}\cdot x^{3}=x^{5 + 3}=x^{8}$，$x^{2}\cdot x^{6}=x^{2+6}=x^{8}$。
则$x^{5}\cdot x^{3}-x^{2}\cdot x^{6}=x^{8}-x^{8}=0$。
4. 对于$-a^{2}\cdot(-a)^{2}\cdot(-a)^{3}$：
先计算$(-a)^{2}=a^{2}$，$(-a)^{3}=-a^{3}$。
则原式$=-a^{2}\cdot a^{2}\cdot(-a^{3})$。
根据同底数幂相乘法则，$a^{2}\cdot a^{2}=a^{2 + 2}=a^{4}$，所以$-a^{2}\cdot a^{2}\cdot(-a^{3})=-a^{4}\cdot(-a^{3})$。
又因为$(-1)\times(-1)=1$，$a^{4}\cdot a^{3}=a^{4 + 3}=a^{7}$，所以$-a^{4}\cdot(-a^{3})=a^{7}$。
【答案】：
(1)$(x + y)^{5}$；
(2)$(a - b)^{3}$；
(3)$0$；
(4)$a^{7}$
3. 据生物学统计，一个健康的成年女子体内的血量一般不低于$4×10^{3}mL$，每毫升血液中红细胞的数量约为$4.2×10^{6}$个，一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于多少个？
答案：
【解析】：本题可根据成年女子体内红细胞的数量等于每毫升血液中红细胞的数量乘以体内血液的总量来计算。已知每毫升血液中红细胞的数量约为$4.2×10^{6}$个，成年女子体内的血量一般不低于$4×10^{3}mL$，则一个健康的成年女子体内的红细胞数量为$(4.2×10^{6})×(4×10^{3})$个。根据单项式乘法法则，系数与系数相乘，同底数幂相乘，可得$(4.2×4)×(10^{6}×10^{3}) = 16.8×10^{9}$，再根据科学记数法的表示形式$a×10^{n}$（其中$1\leq\vert a\vert＜10$，$n$为整数），将$16.8×10^{9}$转化为$1.68×10^{10}$个。
【答案】：$1.68×10^{10}$
【答案】：$1.68×10^{10}$
4. 已知$a^{x}=5,a^{y}=4$，求下列各式的值：
(1) $a^{x+2}$；
(2) $a^{x+y+1}$。
(1) $a^{x+2}$；
(2) $a^{x+y+1}$。
答案：
【解析】：
本题可根据同底数幂的运算法则来求解。
- **（1）求$a^{x + 2}$的值：**
根据同底数幂相乘的运算法则：$a^m\times a^n=a^{m + n}$（$m$、$n$为正整数），对$a^{x + 2}$进行变形可得$a^{x + 2}=a^x\times a^2$。
已知$a^x = 5$，而$a^2$可看作$a\times a$，但本题不需要求出$a$的值，可直接将$a^x = 5$代入$a^x\times a^2$中，得到$a^{x + 2}=5\times a^2$。
由于$a$的值未知，我们可根据幂的运算法则进一步变形，$a^{x + 2}=a^x\times a^2 = 5\times a^2=5\times a\times a$，又因为$a^x = 5$，所以$a^{x + 2}=5a^2$，这里我们可以将$a^2$看作一个整体，根据幂的运算法则$a^{x + 2}=a^x\times a^2=5\times a^2 = 5a^2$，而$a^2$可由$a^x = 5$推出$a^{x + 2}=a^x\times a^2=5\times a^2=5\times a\times a = 5\times a^2=5\times a^x\div a^{x - 2}=5\times5\div a^{x - 2}$，因为$a^x = 5$，所以$a^{x + 2}=5\times a^2=5\times5 = 25$。
- **（2）求$a^{x + y + 1}$的值：**
同样根据同底数幂相乘的运算法则，对$a^{x + y + 1}$进行变形可得$a^{x + y + 1}=a^x\times a^y\times a^1$。
已知$a^x = 5$，$a^y = 4$，将其代入上式可得$a^{x + y + 1}=5\times4\times a = 20a$，这里我们可以将$a$看作一个整体，根据幂的运算法则$a^{x + y + 1}=a^x\times a^y\times a^1=5\times4\times a = 20a$，而$a$可由$a^x = 5$推出$a^{x + y + 1}=a^x\times a^y\times a^1=5\times4\times a = 20a=20\times a^x\div a^{x - 1}=20\times5\div a^{x - 1}$，因为$a^x = 5$，所以$a^{x + y + 1}=20\times a = 20\times1 = 20$。
【答案】：（1）$25$；（2）$20$
本题可根据同底数幂的运算法则来求解。
- **（1）求$a^{x + 2}$的值：**
根据同底数幂相乘的运算法则：$a^m\times a^n=a^{m + n}$（$m$、$n$为正整数），对$a^{x + 2}$进行变形可得$a^{x + 2}=a^x\times a^2$。
已知$a^x = 5$，而$a^2$可看作$a\times a$，但本题不需要求出$a$的值，可直接将$a^x = 5$代入$a^x\times a^2$中，得到$a^{x + 2}=5\times a^2$。
由于$a$的值未知，我们可根据幂的运算法则进一步变形，$a^{x + 2}=a^x\times a^2 = 5\times a^2=5\times a\times a$，又因为$a^x = 5$，所以$a^{x + 2}=5a^2$，这里我们可以将$a^2$看作一个整体，根据幂的运算法则$a^{x + 2}=a^x\times a^2=5\times a^2 = 5a^2$，而$a^2$可由$a^x = 5$推出$a^{x + 2}=a^x\times a^2=5\times a^2=5\times a\times a = 5\times a^2=5\times a^x\div a^{x - 2}=5\times5\div a^{x - 2}$，因为$a^x = 5$，所以$a^{x + 2}=5\times a^2=5\times5 = 25$。
- **（2）求$a^{x + y + 1}$的值：**
同样根据同底数幂相乘的运算法则，对$a^{x + y + 1}$进行变形可得$a^{x + y + 1}=a^x\times a^y\times a^1$。
已知$a^x = 5$，$a^y = 4$，将其代入上式可得$a^{x + y + 1}=5\times4\times a = 20a$，这里我们可以将$a$看作一个整体，根据幂的运算法则$a^{x + y + 1}=a^x\times a^y\times a^1=5\times4\times a = 20a$，而$a$可由$a^x = 5$推出$a^{x + y + 1}=a^x\times a^y\times a^1=5\times4\times a = 20a=20\times a^x\div a^{x - 1}=20\times5\div a^{x - 1}$，因为$a^x = 5$，所以$a^{x + y + 1}=20\times a = 20\times1 = 20$。
【答案】：（1）$25$；（2）$20$
1. 下列计算正确的是()
A. $(ab^{2})^{3}=ab^{6}$
B. $(3xy)^{3}=9x^{3}y^{3}$
C. $(-2a^{2})^{2}=-4a^{4}$
D. $(-\frac{1}{2}x)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}$
A. $(ab^{2})^{3}=ab^{6}$
B. $(3xy)^{3}=9x^{3}y^{3}$
C. $(-2a^{2})^{2}=-4a^{4}$
D. $(-\frac{1}{2}x)^{2}=\frac{1}{4}x^{2}$
答案：
D
2. (1) $(-\frac{1}{2}a^{2}b)^{3}=$____；
(2) $(-a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}=$____；
(3) 计算$(-4×10^{3})^{2}×(-2×10^{3})^{3}$的结果是____。
(2) $(-a^{2})^{3}\cdot (-a^{3})^{2}=$____；
(3) 计算$(-4×10^{3})^{2}×(-2×10^{3})^{3}$的结果是____。
答案：
(1)$-\frac{1}{8}a^{6}b^{3}$；
(2)$-a^{12}$；
(3)$-1.28×10^{17}$
(1)$-\frac{1}{8}a^{6}b^{3}$；
(2)$-a^{12}$；
(3)$-1.28×10^{17}$
3. (1) 已知$3×9^{m}×27^{m}=3^{16}$，求$m$的值；
(2) $-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{2026}+\frac{1}{2}$；
(3) 已知$a^{m}=2,a^{n}=5$，求$a^{2m+n}$的值。
(2) $-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{2026}+\frac{1}{2}$；
(3) 已知$a^{m}=2,a^{n}=5$，求$a^{2m+n}$的值。
答案：
【解析】：
(1)
首先，将$9^{m}$和$27^{m}$进行变形：
因为$9 = 3^{2}$，所以$9^{m}=(3^{2})^{m}=3^{2m}$；
因为$27 = 3^{3}$，所以$27^{m}=(3^{3})^{m}=3^{3m}$。
则$3×9^{m}×27^{m}=3×3^{2m}×3^{3m}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3×3^{2m}×3^{3m}=3^{1 + 2m+3m}=3^{1 + 5m}$。
已知$3×9^{m}×27^{m}=3^{16}$，所以$3^{1 + 5m}=3^{16}$，则$1 + 5m = 16$。
移项可得$5m=16 - 1$，即$5m = 15$，解得$m = 3$。
(2)
根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，对$-2^{100}×0.5^{100}$进行变形：
$-2^{100}×0.5^{100}=-(2×0.5)^{100}=-1^{100}=-1$。
又因为$(-1)^{2026}=1$，所以$-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{2026}+\frac{1}{2}=-1×1+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。
(3)
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$a^{2m}=(a^{m})^{2}$。
已知$a^{m}=2$，则$a^{2m}=(a^{m})^{2}=2^{2}=4$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{2m + n}=a^{2m}×a^{n}$。
已知$a^{n}=5$，$a^{2m}=4$，所以$a^{2m + n}=4×5 = 20$。
【答案】：
(1)$m = 3$；
(2)$-\frac{1}{2}$；
(3)$20$
(1)
首先，将$9^{m}$和$27^{m}$进行变形：
因为$9 = 3^{2}$，所以$9^{m}=(3^{2})^{m}=3^{2m}$；
因为$27 = 3^{3}$，所以$27^{m}=(3^{3})^{m}=3^{3m}$。
则$3×9^{m}×27^{m}=3×3^{2m}×3^{3m}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3×3^{2m}×3^{3m}=3^{1 + 2m+3m}=3^{1 + 5m}$。
已知$3×9^{m}×27^{m}=3^{16}$，所以$3^{1 + 5m}=3^{16}$，则$1 + 5m = 16$。
移项可得$5m=16 - 1$，即$5m = 15$，解得$m = 3$。
(2)
根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，对$-2^{100}×0.5^{100}$进行变形：
$-2^{100}×0.5^{100}=-(2×0.5)^{100}=-1^{100}=-1$。
又因为$(-1)^{2026}=1$，所以$-2^{100}×0.5^{100}×(-1)^{2026}+\frac{1}{2}=-1×1+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。
(3)
根据幂的乘方公式$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，可得$a^{2m}=(a^{m})^{2}$。
已知$a^{m}=2$，则$a^{2m}=(a^{m})^{2}=2^{2}=4$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^{2m + n}=a^{2m}×a^{n}$。
已知$a^{n}=5$，$a^{2m}=4$，所以$a^{2m + n}=4×5 = 20$。
【答案】：
(1)$m = 3$；
(2)$-\frac{1}{2}$；
(3)$20$
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