《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学北师大版》

12. 如图4-54①，将一张长方形纸片沿一条对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图4-54②的形式，使点$B,F,C,D$在同一条直线上。
(1)请说明$AB⊥ED$；
(2)若$AB = DB$，$PB = BC$，请在图中找出除$\triangle ABC≌\triangle DEF$外的另一对全等三角形，并说明理由。

答案： 【解析】：
(1) 由长方形纸片沿对角线剪开可知$\triangle ABC≌\triangle DEF$，所以$\angle A=\angle D$。
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle D+\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle BPD = 90^{\circ}$，即$AB⊥ED$。
(2) 因为$\angle BPD = \angle BCA = 90^{\circ}$，$AB = DB$，$PB = BC$，根据直角三角形全等判定定理（HL），可得$\triangle ABC≌\triangle DBP$。
【答案】：
(1) 由长方形纸片沿对角线剪开得$\triangle ABC≌\triangle DEF$，故$\angle A=\angle D$。因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle D+\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle BPD = 90^{\circ}$，即$AB⊥ED$。
(2) $\triangle ABC≌\triangle DBP$。理由：$\angle BPD = \angle BCA = 90^{\circ}$，$AB = DB$，$PB = BC$，根据HL定理可得$\triangle ABC≌\triangle DBP$。

13. (1)操作发现
如图4-55①，在等边三角形$ABC$中，$M$是线段$BC$上的任意一点(不含端点$B,C$)，连接$AM$，以$AM$为边作等边三角形$AMN$，连接$CN$，猜想$∠ABC$与$∠ACN$有何数量关系，并说明你的理由。
(2)类比探究
如图4-55②，在等边三角形$ABC$中，$M$是$BC$延长线上的任意一点，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。

答案： 【解析】：
(1)
因为$\triangle ABC$和$\triangle AMN$都是等边三角形，
所以$AB = AC$，$AM = AN$，$\angle BAC=\angle MAN = 60^{\circ}$。
$\angle BAC-\angle MAC=\angle MAN-\angle MAC$，即$\angle BAM=\angle CAN$。
在$\triangle BAM$和$\triangle CAN$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAM=\angle CAN\\AM = AN\end{cases}$，
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BAM\cong\triangle CAN$。
所以$\angle ABC=\angle ACN$。
(2)
因为$\triangle ABC$和$\triangle AMN$都是等边三角形，
所以$AB = AC$，$AM = AN$，$\angle BAC=\angle MAN = 60^{\circ}$。
$\angle BAC+\angle MAC=\angle MAN+\angle MAC$，即$\angle BAM=\angle CAN$。
在$\triangle BAM$和$\triangle CAN$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAM=\angle CAN\\AM = AN\end{cases}$，
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BAM\cong\triangle CAN$。
所以$\angle ABC=\angle ACN$，（1）中的结论仍然成立。
【答案】：
(1) $\angle ABC=\angle ACN$，理由见上述解析。
(2) 仍然成立，理由见上述解析。