《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

14. 在等腰三角形 ABC 中,$AB= AC$,一腰上的中线 BD 将这个三角形的周长分成 15 cm 和 6 cm 两部分,求这个等腰三角形的腰长。

答案： 解:设 $AB = AC = 2x\text{ cm}, BC = y\text{ cm}$。
因为BD为一腰上的中线,
所以 $AD = CD = x\text{ cm}$。
因为中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分,
所以有两种情况:
①当 $AB + AD = 15\text{ cm}, BC + CD = 6\text{ cm}$ 时,
$3x = 15, x + y = 6$,
解得 $x = 5, y = 1$,
所以三边长分别为10cm, 10cm, 1cm, 且 $10 + 1 ＞ 10$,
所以等腰三角形的腰长为10cm。
②当 $AB + AD = 6\text{ cm}, BC + CD = 15\text{ cm}$ 时,
$3x = 6, x + y = 15$,
解得 $x = 2, y = 13$,
此时两腰之和 $4 + 4 = 8 ＜ 13$,
故这种情况不存在。
综上所述, 这个等腰三角形的腰长为10cm。

15. 在$△ABC$中,$AB= AC$,BD 平分$∠ABC,BD= AD$。
(1)如图①,求$∠BAC$的度数;
(2)如图②,E 是 AB 的中点,连接 ED 并延长,交 BC 的延长线于点 F,连接 AF,试说明:$AF= AB+BC$。

答案： 解:
(1)设 $∠ABD = x^{\circ}$。
因为BD平分 $∠ABC$,
所以 $∠DBC = x^{\circ}$。
因为 $AB = AC$,
所以 $∠C = ∠ABC = 2x^{\circ}$。
因为 $BD = AD$,
所以 $∠A = ∠ABD = x^{\circ}$。
在 $△ABC$ 中, $∠A + ∠ABC + ∠C = 180^{\circ}$,
所以 $x + 2x + 2x = 180$,
解得 $x = 36$,
所以 $∠A = 36^{\circ}$,
即 $∠BAC$ 的度数为 $36^{\circ}$。
(2)因为E是AB的中点, $BD = AD$,
所以EF是AB的垂直平分线,
所以 $AF = BF$,
所以 $∠FAB = ∠FBA = 72^{\circ}$,
所以 $∠AFB = ∠FAC = 36^{\circ}$,
所以 $CA = CF$,
所以 $AB = AC = CF$,
所以 $AF = BF = BC + CF = AB + BC$。

16. (2024·南平)如图,$∠AOB= 30^{\circ }$,P 是它内部一点,$OP= 2$,Q,R 分别是 OA,OB 上的动点,则$PQ+QR+RP$的最小值是 ()

A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.6 cm

答案： C