《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

15. (2023·兰州中考)综合与实践
问题探究:(1)图①是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中给出的角平分线作图法:在 $ OA $ 和 $ OB $ 上分别取点 $ C $ 和点 $ D $,使得 $ OC = OD $,连接 $ CD $,以 $ CD $ 为边作等边三角形 $ CDE $,连接 $ OE $,则 $ OE $ 就是 $ \angle AOB $ 的平分线。请写出 $ OE $ 平分 $ \angle AOB $ 的依据:____。
类比迁移:(2)小明根据以上信息研究发现:$ \triangle CDE $ 不一定必须是等边三角形,只需 $ CE = DE $ 即可。他查阅资料发现我国古代已经用角尺平分任意角。作法如下:如图②,在 $ \angle AOB $ 的边 $ OA $,$ OB $ 上分别取 $ OM = ON $,移动角尺,使角尺两边相同刻度分别与点 $ M $,$ N $ 重合,则过角尺顶点 $ C $ 的射线 $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线。请说明此作法的理由。
拓展实践:(3)小明将研究应用于实践。如图③,校园内的两条小路 $ AB $ 和 $ AC $ 汇聚形成了一个岔路口 $ A $,现在学校要在这两条小路之间安装一盏路灯 $ E $,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮),并且路灯 $ E $ 到岔路口 $ A $ 的距离和休息椅 $ D $ 到岔路口 $ A $ 的距离相等。试问:路灯应该安装在哪个位置? 请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图④中作出路灯 $ E $ 的位置。(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解:
(1)△OCE≌△ODE
(2)在△COM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l} OM=ON,\\ OC=OC,\\ CM=CN,\end{array}\right.$

所以△COM≌△CON，
所以∠COM=∠CON，即OC是∠AOB的平分线。
(3)作图如图所示。