《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

15.【提出问题】
利用图形能够证明等式,如完全平方公式、平方差公式都可以用图形进行证明,利用图形能否证明不等式呢？请完成以下探究性学习内容。
【自主探究】
用直角边长分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图,由图①得到图②。

(1)请你仔细观察图形变化,解决下列问题。
①图①中两个三角形的面积分别为____和____,图②中长方形ABCD的面积为____(用含a,b的字母表示)；
②当$a\neq b$时,比较大小：$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$____ab(选填“＞”“＜”或“=”)；
③当a和b满足什么条件时,$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$与ab相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明。乙同学说：我可以通过画图进行说明。请你选择其中一人的方法,进行说明。
【知识应用】
(2)已知$m＞0$,$n＞1$,且$m(n-1)= 9$,利用(1)中发现的结论求$m^{2}+n^{2}-2n+1$的最小值。

答案： 解：
(1)①$\frac{1}{2}a^{2}$ $\frac{1}{2}b^{2}$ $ab$
②$＞$
③选择甲同学的方法，当$a=b$时，
$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=a^{2}$，$ab=a\cdot a=a^{2}$，
所以当$a=b$时，$\frac{a^{2}+b^{2}}{2}=ab$。
(2)设$x=m$，$y=n-1$，$xy=m(n-1)=9$，
$m^{2}+n^{2}-2n+1=x^{2}+y^{2}≥2xy$，
当$x=y$时，最小值$2xy=2m(n-1)=2×9=18$。故$m^{2}+n^{2}-2n+1$的最小值是18。