《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

20. [数形结合思想](2024·合肥)对于同一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式。
例如:由图①可以得到$(a+2b)(a+b)= a^{2}+3ab+2b^{2}$。

(1)由图②可以得到____。
(2)利用图②所得的等式解答下列问题:
①若有理数a,b,c满足$a+b+c= 11,ab+bc+ac= 38$,则$a^{2}+b^{2}+c^{2}$的值为____;
②若有理数x,y,z满足$8^{x}×4^{y}÷2^{z}= 4,9x^{2}+4y^{2}+z^{2}= 44$,求$6xy-3xz-2yz$的值。

答案： 20. 解：（1）$ ( a + b + c ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a c + c ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } + 2 b c $
（2）①45
②因为 $ 8 ^ { x } × 4 ^ { y } ÷ 2 ^ { z } = 4 $，
所以 $ 2 ^ { 3 x } × 2 ^ { 2 y } ÷ 2 ^ { z } = 2 ^ { 2 } $，
所以 $ 2 ^ { 3 x + 2 y - z } = 2 ^ { 2 } $，
所以 $ 3 x + 2 y - z = 2 $。
因为 $ 9 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 44 $，
所以 $ ( 3 x ) ^ { 2 } + ( 2 y ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } = 44 $。
因为 $ ( 3 x + 2 y - z ) ^ { 2 } = ( 3 x ) ^ { 2 } + ( 2 y ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 12 x y - 6 x z - 4 y z $，
所以 $ 12 x y - 6 x z - 4 y z $
$ = ( 3 x + 2 y - z ) ^ { 2 } - ( 3 x ) ^ { 2 } - ( 2 y ) ^ { 2 } - z ^ { 2 } $
$ = 4 - 44 $
$ = - 40 $，
所以 $ 6 x y - 3 x z - 2 y z = - 20 $。