《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

14. (1)问题发现：如图①,直线$AB// CD$,连接$BE$,$CE$,试说明：$∠B+∠C= ∠BEC$；
(2)拓展探究：如果点$E$运动到如图②的位置,其他条件不变,试说明：$∠B+∠C+∠BEC= 360^{\circ}$；
(3)拓展变式：如图③,直线$AB// CD$,$BE平分∠ABF$,$CE平分∠DCF$,$∠BEC= 132^{\circ}$,则$∠BFC= $______。

答案：
解:
(1)过点E作$ EF // AB $，如图①。
因为$ AB // DC $，$ EF // AB $，所以$ EF // DC $，所以$ \angle C = \angle CEF $。
因为$ EF // AB $，所以$ \angle B = \angle BEF $，
所以$ \angle B + \angle C = \angle BEF + \angle CEF $，
即$ \angle B + \angle C = \angle BEC $。
(2)过点E作$ EP // AB $，如图②。
因为$ AB // DC $，$ EP // AB $，所以$ EP // DC $，
所以$ \angle C + \angle CEP = 180 ^ { \circ } $。
因为$ EP // AB $，所以$ \angle B + \angle BEP = 180 ^ { \circ } $，
所以$ \angle B + \angle BEP + \angle C + \angle CEP = 360 ^ { \circ } $，
即$ \angle B + \angle C + \angle BEC = 360 ^ { \circ } $。
(3)因为BE平分$ \angle ABF $，CE平分$ \angle DCF $，
所以设$ \angle ABE = \angle FBE = \alpha $，$ \angle DCE = \angle FCE = \beta $，
所以$ \angle ABF = 2 \alpha $，$ \angle DCF = 2 \beta $。
由
(1)的结论，得$ \angle BEC = \angle ABE + \angle DCE = \alpha + \beta $。
因为$ \angle BEC = 132 ^ { \circ } $，所以$ \alpha + \beta = 132 ^ { \circ } $。
由
(2)的结论，得$ \angle BFC + \angle ABF + \angle DCF = 360 ^ { \circ } $，
所以$ \angle BFC + 2 \alpha + 2 \beta = 360 ^ { \circ } $，
所以$ \angle BFC = 360 ^ { \circ } - 2 ( \alpha + \beta ) = 360 ^ { \circ } - 2 × 132 ^ { \circ } = 96 ^ { \circ } $。
故答案为$ 96 ^ { \circ } $。