《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

16. (2024·沈阳)【发现问题】
如图①,小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴$MN的光线AB和CD$经过凹透镜的折射后,折射光线$BE$,$DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P$。
【提出问题】
小明提出了一个问题：$\angle BPD$,$\angle ABP和\angle CDP$之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知$AB// MN// CD$,可以利用平行线的性质,把$\angle BPD$分成两部分进行研究。
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题,并说明理由。
探究二：如图②,已知$AB// CD$,$\angle P$,$\angle AMP$,$\angle CNP$的数量关系为____；如图③,已知$\angle ABC= 25^{\circ}$,$\angle C= 60^{\circ}$,$AE// CD$,则$\angle BAE= $____。
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④,射线$ME$,$NF分别平分\angle BMP和\angle CNP$,$ME交直线CD于点E$,$NF与\angle AMP内部的一条射线MF交于点F$。若$\angle P= 2\angle F$,求$\angle FME$的度数。

答案： 解：探究一：$ \angle BPD = \angle ABP + \angle CDP $。理由如下：
因为 $ AB // MN // CD $，所以 $ \angle BPN = \angle ABP $，$ \angle DPN = \angle CDP $，
所以 $ \angle BPN + \angle DPN = \angle ABP + \angle CDP $，
所以 $ \angle BPD = \angle ABP + \angle CDP $。
探究二：$ \angle AMP = \angle P + \angle CNP $ $ 145 ^ { \circ } $
因为射线 ME，NF 分别平分 $ \angle BMP $ 和 $ \angle CNP $，所以 $ \angle PME = \frac { 1 } { 2 } \angle PMB $，$ \angle CNF = \angle PNF $。
由探究一的结论，得 $ \angle P = \angle AMF + \angle PMF + \angle CNF + \angle PNF $，$ \angle F = \angle AMF + \angle CNF $。
因为 $ \angle P = 2 \angle F $，所以 $ \angle AMF + \angle PMF + \angle CNF + \angle PNF = 2 \angle AMF + 2 \angle CNF $。
又因为 $ \angle PNF = \angle CNF $，所以 $ \angle AMF + \angle PMF = 2 \angle AMF $，
所以 $ \angle PMF = \angle AMF = \frac { 1 } { 2 } \angle AMP $，所以 $ \angle PMF + \angle PME = \frac { 1 } { 2 } ( \angle AMP + \angle PMB ) $，
所以 $ \angle FME = \frac { 1 } { 2 } \angle AMB = \frac { 1 } { 2 } × 180 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $。