《2025年暑假作业安徽教育出版社七年级数学北师大版》

18. (2024·六安)我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式,如图①,可以得到$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}$。

基于此,请解答下列问题：
[直接应用](1)若$x+y= 3$,$x^{2}+y^{2}= 5$,求$xy$的值。
[类比应用](2)①若$x(3-x)= 1$,则$x^{2}+(x-3)^{2}= $____；
②若$(x-3)(4-x)= -1$,则$(x-3)^{2}+(x-4)^{2}= $____。
[知识迁移](3)两块大小、形状完全一样的特制直角三角板($∠AOB= ∠COD= 90^{\circ}$)按图②方式放置,其中$A$,$O$,$D$在一条直线上,连接$AC$,$BD$。若$AD= 16$,$S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOD}= 68$,求一块直角三角板的面积。

答案： 解:
(1)因为$ x + y = 3 $,
所以$ ( x + y ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } $,
所以$ x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } = 9 $,
所以$ 2 x y = 9 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) $。
又因为$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 5 $,
所以$ 2 x y = 9 - 5 = 4 $,
所以$ x y = 2 $。
(2)①7 ②3
(3)设$ O A = O C = x $,$ O B = O D = y $。
因为$ \angle A O B = \angle C O D = 90 ^ { \circ } $,A,O,D 在一条直线上,
所以$ S _ { \triangle A O C } = \frac { 1 } { 2 } O A \cdot O C = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $,$ S _ { \triangle B O D } = \frac { 1 } { 2 } O B \cdot O D = \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } $。
因为$ S _ { \triangle A O C } + S _ { \triangle B O D } = 68 $,
所以$ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } = 68 $,
所以$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 136 $。
因为$ A D = 16 $,
所以$ x + y = 16 $,
所以$ ( x + y ) ^ { 2 } = 16 ^ { 2 } $,
即$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 x y = 256 $,
所以$ 2 x y = 256 - ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) = 120 $,
所以$ x y = 60 $,
所以$ S _ { \triangle A O B } = \frac { 1 } { 2 } O A \cdot O B = \frac { 1 } { 2 } x y = \frac { 1 } { 2 } × 60 = 30 $。
所以一块直角三角板的面积为 30。