《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

24. （14分）如图，点$B$在线段$AC$上，点$D$，$E$在$AC$的同侧，$\angle A = \angle C = 90^{\circ}$，$BD\perp BE$，$AD = BC$.
（1）求证：$AC = AD + CE$；
（2）若$AD = 3$，$AB = 5$，点$P$为线段$AB$上的动点，连接$DP$，作$PQ\perp DP$，交直线$BE$于点$Q$，当点$P$与$A$，$B$两点不重合时，求$\frac{DP}{PQ}$的值.

答案：
(1)$\because BD\perp BE$，$A$，$B$，$C$三点共线，
$\therefore\angle ABD+\angle CBE = 90^{\circ}$。
$\because\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CBE+\angle E = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ABD=\angle E$。
$\because\angle A=\angle C$，$AD = BC$，
$\therefore\triangle DAB\cong\triangle BCE$(AAS)，$\therefore AB = CE$，
$\therefore AC = BC + AB = AD + CE$。
(2)连接 DQ，设 BD 与 PQ 交于点 F，
$\because\angle DPF=\angle QBF = 90^{\circ}$，$\angle DFP=\angle QFB$，
$\therefore\triangle DFP\sim\triangle QFB$，$\therefore\frac{DF}{QF}=\frac{PF}{BF}$。
$\because\angle DFQ=\angle PFB$，$\therefore\triangle DFQ\sim\triangle PFB$，
$\therefore\angle DQP=\angle DBA$，
$\therefore\tan\angle DQP=\tan\angle DBA$，即$\frac{DP}{PQ}=\frac{AD}{AB}$。
$\because AD = 3$，$AB = 5$，$\therefore\frac{DP}{PQ}=\frac{3}{5}$。