《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

21.(8分)(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD是斜边BC上的高.
(1)证明：△ABD∽△CBA；
(2)若AB = 6，BC = 10，求BD的长.

答案：
(1)
∵∠BAC = 90°，AD是斜边BC上的高，
∴∠ADB = 90°，∠B + ∠C = 90°，
∴∠B + ∠BAD = 90°，
∴∠BAD = ∠C.
又∠B = ∠B
∴△ABD∽△CBA.
(2)
∵△ABD∽△CBA，
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{BD}{AB}$.
∵AB = 6，BC = 10，
∴BD = $\frac{AB²}{CB}$=$\frac{36}{10}$ = $\frac{18}{5}$.

22.(8分)(2023·云南中考)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B、C的点.⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA·AC = DC·AB.设△ABE的面积为S₁，△ACD的面积为S₂.
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC = BE，S₂ = mS₁，求常数m的值.

答案：

(1)AE与⊙O相切. 理由如下：
如图，连接OA.

∵DA·AC = DC·AB，
∴$\frac{DA}{DC}$=$\frac{AB}{CA}$.
∵BC是⊙O的直径，ED⊥CD，
∴∠BAC = ∠ADC = 90°，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠ACB = ∠ACD.
∵OA = OC，
∴∠OAC = ∠ACB = ∠ACD，
∴OA//CD，
∴∠OAE = ∠CDE = 90°，
∴OA⊥DE.
又OA为⊙O的半径，
∴直线EA与⊙O相切.
(2)如图，
∵OA//CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OE}{EC}$.
设BO = OC = OA = a，则BC = 2a，
∴BE = BC = 2a，
∴$S_{\triangle ABE}$ = $S_{\triangle ABC}$，EO = 3a，EC = 4a，
∴$\frac{a}{CD}$=$\frac{3a}{4a}$，
∴CD = $\frac{4}{3}$a.
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{AC}{CD}$，
∴AC² = BC·CD = $\frac{8}{3}$a².
∵△ABC∽△DAC，
∴$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$=($\frac{AC}{BC}$)² = $\frac{AC²}{BC²}$=$\frac{\frac{8}{3}a²}{4a²}$ = $\frac{2}{3}$，
∴m = $\frac{S_{2}}{S_{1}}$=$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABE}}$=$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$ = $\frac{2}{3}$.

23.(8分)我们知道：如图(1)，点B把线段AC分成两部分，如果$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{AC}$，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
(1)在图(1)中，若AC = 20 cm，则AB的长为________cm；
(2)如图(2)，用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
(3)如图(3)，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AE＞DE)，连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF，CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E，F恰好分别是AD，AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

答案：

(1)10$\sqrt{5}$ - 10 [解析]
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$，AC = 20，
∴AB = 10$\sqrt{5}$ - 10.
(2)如图，延长CG交DA的延长线于点J，由折叠知∠BCG = ∠ECG，
∵AD//BC，
∴∠J = ∠BCG = ∠ECG.
∴JE = CE. 由折叠，知E，F为AD，BC的中点，
∴DE = AE = 10.
由勾股定理，得CE = $\sqrt{DE² + CD²}$ = $\sqrt{10² + 20²}$ = 10$\sqrt{5}$，
∴EJ = 10$\sqrt{5}$.
∴AJ = JE - AE = 10$\sqrt{5}$ - 10.
∵AJ//BC，
∴△AGJ∽△BGC.
∴$\frac{AG}{BG}$=$\frac{AJ}{BC}$=$\frac{10\sqrt{5} - 10}{20}$=$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
∴G是AB的黄金分割点.

(3)PB = BC. 理由如下：
∵E为AD的黄金分割点，且AE＞DE，
∴AE = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$a.
∵CF⊥BE，
∴∠ABE + ∠CBE = ∠CBE + ∠BCF = 90°，
∴∠ABE = ∠FCB.
在△BEA和△CFB中，{∠ABE = ∠FCB，AB = BC，∠A = ∠FBC}
∴△BEA≌△CFB(ASA).
∴BF = AE = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$a.
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
∵AE//BP，
∴△AEF∽△BPF，
∴$\frac{AE}{PB}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{BF}{AB}$.
∵AE = BF，
∴PB = AB，
∴PB = BC.