《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

22.(8分)[情境创新类问题](2023·烟台中考)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义. 某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图(1). 某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示意图. 已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度.(参考数据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325)

答案：
如图，延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G.

由题意，得PF⊥AF，DG⊥BE，FG = AB = 53米，AF = BG. 设AF = BG = x米，
在Rt△CDF中，∠DCF = 30°，CD = 16米，
∴DF = $\frac{1}{2}$CD = 8米.
在Rt△PAF中，∠PAF = 45°，AF = x米
∴PF = AF·tan 45° = x米.
在Rt△BPG中，∠GBP = 18°，BG = x米
∴GP = BG·tan 18° ≈ 0.325x米，
∴FG = PF + PG = x + 0.325x = 1.325x米，
∴1.325x = 53，解得x = 40，
∴PF = 40米，
∴PD = PF - DF = 40 - 8 = 32(米).
故该风力发电机塔杆PD的高度约为32米.

23.(8分)[情境创新类问题](2023·丽水中考)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A - D - C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=11 m，CD=4 m，求管道A - D - C的总长.

答案：
如图，过点D作DE⊥AB于点E，

则∠AED = 90°，四边形BCDE是矩形，
∴BE = CD = 4 m，
∴AE = AB - BE = 11 - 4 = 7(m).
∵∠A = 60°，
∴cos A = $\frac{AE}{AD}$ = cos 60° = $\frac{1}{2}$，
∴AD = 2AE = 2×7 = 14(m)，
∴AD + CD = 14 + 4 = 18(m).
故管道A - D - C的总长为18 m.
解后反思：本题考查了解直角三角形的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

24.(10分)(2022·张家界中考)阅读下列材料：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
证明：如图(1)，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD=a sin B，
在Rt△ACD中，CD=b sin A，
∴a sin B=b sin A.
∴$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.
根据上面的材料解决下列问题：

(1)如图(2)，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境. 如图(3)，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积.(结果保留根号. 参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)

答案：

(1)如图
(1)，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD = c sin B，
在Rt△ACD中，AD = b sin C，
∴c sin B = b sin C.
∴$\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$.

(第24题)
(2)如图
(2)，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC = 67°，∠B = 53°，
∴∠C = 60°.
在Rt△ACE中，AE = AC·sin 60° = 80×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 40$\sqrt{3}$(m).
∵$\frac{AC}{\sin B}$ = $\frac{BC}{\sin\angle BAC}$，即$\frac{80}{0.8}$ = $\frac{BC}{0.9}$，
∴BC = 90 m.
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$×90×40$\sqrt{3}$ = 1800$\sqrt{3}$(m²).