《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

24.(10分)(2023·湖南永州祁阳期末)阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图(1)，在△ABC中，BE是边AC上的中线，点D在边BC上，AD与BE相交于点P.

(1)小波发现，$\frac{DB}{BC}=\frac{2}{3}$，过点C作CF//AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF(如图(2))，经过推理和计算得到$\frac{AP}{PD}$的值为_______.
(2)参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图(3)，在△ABC中，点D在BC的延长线上，$\frac{DB}{BC}=\frac{4}{3}$，点E在AC上，且$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}$，求$\frac{AP}{PD}$的值；
②如图(4)，在△ABC中，点D在BC的延长线上，$\frac{DB}{BC}=\frac{4}{3}$，点E在AC的延长线上，且$\frac{AE}{EC}=\frac{7}{2}$，求出$\frac{AP}{PD}$的值.

答案：

(1)$\frac{3}{2}$ [解析]
∵PD//FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴$\frac{PD}{FC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{2}{3}$.
∵BE是边AC上的中线，
∴AE = CE = $\frac{1}{2}$AC.
∵AP//CF，
∴△APE∽△CFE，
∴$\frac{AP}{CF}$=$\frac{AE}{CE}$ = 1，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{3}{2}$.
(2)①如图
(1)，过点A作AF//BC，交BP的延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{3}{2}$.
设AF = 3x，BC = 2x.
∵$\frac{DB}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴BD = $\frac{8}{3}$x.
∵AF//BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴$\frac{AP}{PD}$=$\frac{AF}{BD}$=$\frac{9}{8}$. 故$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{9}{8}$；
②如图
(2)，过点C作CF//AP交PB于点F，
∴△BCF∽△BDP，
∴$\frac{CF}{PD}$=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{3}{4}$.
设CF = 3x，PD = 4x，
∵CF//AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴$\frac{CF}{AP}$=$\frac{EC}{AE}$=$\frac{2}{7}$，
∴AP = $\frac{21}{2}$x，
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{\frac{21}{2}x}{4x}$=$\frac{21}{8}$. 故$\frac{AP}{PD}$的值为$\frac{21}{8}$.