《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

23.（8分）（2022·聊城中考）如图，直线$y = px + 3(p \neq 0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限内的图象交于点A(2,q)，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为D，交直线$y = px + 3$于点E，且$S_{\triangle AOB}:S_{\triangle COD}=3:4$.
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标.

答案：
(1)
∵直线y = px + 3与y轴交点为B，
∴B(0,3)，即OB = 3.
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB = $\frac{1}{2}$×3×2 = 3.
∵S△AOB : S△COD = 3 : 4，
∴S△COD = 4. 设C(m,$\frac{k}{m}$)，
∴$\frac{1}{2}$m·$\frac{k}{m}$ = 4，解得k = 8.
∵点A(2,q)在双曲线y = $\frac{8}{x}$上，
∴q = 4，把点A(2,4)代入y = px + 3，得p = $\frac{1}{2}$，
∴k = 8，p = $\frac{1}{2}$.
(2)由
(1)得C(m,$\frac{k}{m}$)，
∴E(m,$\frac{1}{2}$m + 3).
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE = S△COE.
∵S△BOE = $\frac{3}{2}$m，S△COE = $\frac{m}{2}$($\frac{1}{2}$m + 3) - 4，
∴$\frac{3}{2}$m = $\frac{m}{2}$($\frac{1}{2}$m + 3) - 4，解得m = 4或m = - 4(不符合题意，舍去).
∴点C的坐标为(4,2).

24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD = 2.
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标.
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程.

答案：

(1)点A在该反比例函数的图象上. 理由如下：

如图，过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD = 2，
∴BP = 2，G是CD的中点.
∴PG = $\sqrt{3}$.
∴P(2,$\sqrt{3}$).
∵P在反比例函数y = $\frac{k}{x}$上，
∴k = 2$\sqrt{3}$.
∴y = $\frac{2\sqrt{3}}{x}$. 由正六边形的性质，得A(1,2$\sqrt{3}$).
∴点A在该反比例函数图象上.
(2)由题易得点D的坐标为(3,0)，点E的坐标为(4,$\sqrt{3}$). 设直线DE的解析式为y = ax + b，
∴$\begin{cases}3a + b = 0\\4a + b = \sqrt{3}\end{cases}$，
∴$\begin{cases}a = \sqrt{3}\\b = - 3\sqrt{3}\end{cases}$.
∴y = $\sqrt{3}$x - 3$\sqrt{3}$. 联立方程$\begin{cases}y = \frac{2\sqrt{3}}{x}\\y = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}\end{cases}$，解得x = $\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$(负值已舍去).
∴点Q横坐标为$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.
(3)A(1,2$\sqrt{3}$)，B(0,$\sqrt{3}$)，C(1,0)，D(3,0)，E(4,$\sqrt{3}$)，F(3,2$\sqrt{3}$)，设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为A(1 - m,2$\sqrt{3}$ + n)，B( - m,$\sqrt{3}$ + n)，C(1 - m,n)，D(3 - m,n)，E(4 - m,$\sqrt{3}$ + n)，F(3 - m,2$\sqrt{3}$ + n). ①将正六边形向左平移2个单位后，E(2,$\sqrt{3}$)，F(1,2$\sqrt{3}$)，则点E与F都在反比例函数图象上；②将正六边形向右平移1个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位后，C(2,$\sqrt{3}$)，B(1,2$\sqrt{3}$)，则点B与C都在反比例函数图象上.