《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

19. (6分)已知y = y₁ + y₂，其中y₁与3x成反比例，y₂与 - x²成正比例，且当x = 1时，y = 5；当x = -1时，y = -2.求当x = 3时，y的值.

答案： 设$y=\frac{k_{1}}{3x}+k_{2}(-x^{2})$，
把$x = 1$，$y = 5$；$x=-1$，$y=-2$分别代入得
$\begin{cases}\frac{k_{1}}{3}-k_{2}=5\\-\frac{k_{1}}{3}-k_{2}=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1}=\frac{21}{2}\\k_{2}=-\frac{3}{2}\end{cases}$，
$\therefore y=\frac{7}{2x}+\frac{3}{2}x^{2}$，$\therefore$当$x = 3$时，$y=\frac{44}{3}$.

20. (6分)(2022·宁波中考)如图，正比例函数y = -$\frac{2}{3}$x的图象与反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象都经过点A(a，2).
(1)求点A的坐标和反比例函数表达式；
(2)若点P(m，n)在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)把$A(a,2)$的坐标代入$y=-\frac{2}{3}x$，
$2=-\frac{2}{3}a$，解得$a=-3$. $\therefore A(-3,2)$.
又点$A(-3,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象上，$\therefore k=-3\times2=-6$.
$\therefore$反比例函数的关系式为$y=-\frac{6}{x}$.
(2)$∵$点$P(m,n)$在该反比例函数图象上，且它到$y$轴距离小于3，
$\therefore - 3＜m＜0$或$0＜m＜3$，
当$m=-3$时，$n=\frac{-6}{-3}=2$；
当$m = 3$时，$n=\frac{-6}{3}=-2$.
由图象可知，若点$P(m,n)$在该反比例函数图象上，且它到$y$轴距离小于3，$n$的取值范围为$n＜-2$或$n＞2$.

21. (8分)(2022·连云港中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = ax + b(a≠0)的图象与反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象交于P，Q两点，点P(-4，3)，点Q的纵坐标为 - 2.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△POQ的面积.

答案：

(1)将$P(-4,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，解得$k=-12$.
$\therefore$反比例函数表达式为$y=-\frac{12}{x}$.
当$y=-2$时，代入$y=-\frac{12}{x}$，解得$x = 6$，即$Q(6,-2)$.
将$P(-4,3)$，$Q(6,-2)$代入$y=ax + b(a\neq0)$，
得$\begin{cases}-4a + b = 3\\6a + b=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$.
$\therefore$一次函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 1$.
(2)如图，设一次函数的图象与$y$轴交点为$M$，

将$x = 0$代入$y=-\frac{1}{2}x + 1$，得$y = 1$，即$M(0,1)$.
$∵P(-4,3)$，$Q(6,-2)$，$M(0,1)$，
$\therefore S_{\triangle POQ}=S_{\triangle POM}+S_{\triangle QOM}=\frac{1}{2}\times1\times4+\frac{1}{2}\times1\times6 = 5$.
解后反思 本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键.