《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

19.（6分）[跨学科综合]（2023·台州中考）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度. 密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm³）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm³的水中时，h = 20 cm.
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h = 25 cm，求该液体的密度ρ.

答案：
(1)设h关于ρ的函数解析式为h = $\frac{k}{\rho}$(k≠0,ρ＞0)，把ρ = 1，h = 20代入解析式，得k = 1×20 = 20，
∴h关于ρ的函数解析式为h = $\frac{20}{\rho}$(ρ＞0).
(2)把h = 25代入h = $\frac{20}{\rho}$，得25 = $\frac{20}{\rho}$，解得ρ = 0.8. 故该液体的密度ρ为0.8 g/cm³.

20.（6分）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点(-2,-4)，(1,2)，(3,6)，…都是理想点，显然这样的“理想点”有无数多个.
（1）若点M(2,a)是反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数$y = 3mx - 1$（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)
∵点M(2,a)是反比例函数y = $\frac{k}{x}$图象上的“理想点”，
∴a = 4.
∵点M(2,4)在反比例函数y = $\frac{k}{x}$图象上，
∴k = 8.
∴反比例函数的表达式为y = $\frac{8}{x}$.
(2)假设函数y = 3mx - 1的图象上存在“理想点”(x,2x)，则有3mx - 1 = 2x，整理，得(3m - 2)x = 1. 当3m - 2≠0，即m≠$\frac{2}{3}$时，解得x = $\frac{1}{3m - 2}$；当3m - 2 = 0，即m = $\frac{2}{3}$时，x无解. 综上所述，当m≠$\frac{2}{3}$时，函数图象上存在理想点($\frac{1}{3m - 2}$,$\frac{2}{3m - 2}$)；当m = $\frac{2}{3}$时，函数图象上不存在理想点.