《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

19.(6分)如图，在三角形纸片$ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，将纸片折叠使点$A$总是落在$BC$边上，记为点$D$，$EF$为折痕，在$BC$边上是否存在一点$D$，使以$D$，$E$，$F$为顶点的三角形和以$D$，$E$，$B$为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由.

答案： 不存在.理由如下:
　　假设存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似，
　
∵∠FDE = ∠A = 30°,∠B = 60°,
　
∴当∠BED = ∠FDE = 30°时,∠BDE = 90°.
　
∴∠DEF = 90°.
∴∠FEA = 90°,
　　这与平角为180°相矛盾.
　　同理,当∠BDE = ∠FDE = 30°时,也存在矛盾.
∴不存在一点D,使以D,E,F为顶点的三角形和以D,E,B为顶点的三角形相似.

20.(6分)已知$a$，$b$，$c$为$\triangle ABC$的三边长，且$a + b + c = 36$，$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，求$\triangle ABC$三边的长.

答案： 由$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$，得a = $\frac{3}{5}c$，b = $\frac{4}{5}c$.
　　把a = $\frac{3}{5}c$，b = $\frac{4}{5}c$代入a + b + c = 36，
　　得$\frac{3}{5}c+\frac{4}{5}c + c = 36$，解得c = 15.
　　故a = $\frac{3}{5}c = 9$，b = $\frac{4}{5}c = 12$.
　　所以△ABC三边的长为a = 9，b = 12，c = 15.

21.(8分)(2023·北京通州区期末)如图，已知$D$是$BC$的中点，$M$是$AD$的中点. 求$AN:NC$的值.

答案： 如图，过点D作DE//BN,交AC于点E.
　
∵DE//BN,D是BC的中点，
∴E是NC的中点，即EN = CE.
　
∵MN//DE,M是AD的中点，
　
∴N是AE的中点，即AN = EN,
　
∴AN = EN = CE,
∴AN:NC = 1:2.