《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

18.(2023·达州中考)如图，乐器上的一根弦AB = 80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为________cm.(结果保留根号)

答案： (80$\sqrt{5}$ - 160) [解析]
∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB = 80 cm，
∴AC = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$AB = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$×80 = (40$\sqrt{5}$ - 40)cm.
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB = 80 cm，
∴DB = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$AB = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$×80 = (40$\sqrt{5}$ - 40)cm，
∴CD = AC + BD - AB = 2(40$\sqrt{5}$ - 40)-80 = (80$\sqrt{5}$ - 160)cm，
∴支撑点C，D之间的距离为(80$\sqrt{5}$ - 160) cm.

19.(6分)甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F，G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF//CB，∠E = ∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”.甲同学的解答得到了老师的好评.乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：∵DF//CB，∴△AFD∽△ABC.”乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正.

答案： 乙同学的解答不正确，与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上. 证明如下：
∵DF//BC，
∴∠GFE = ∠ABC.
又∠E = ∠C，
∴△GFE∽△ABC.

20.(6分)(2022·长春中考)如图(1)、图(2)、图(3)均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.



(1)网格中△ABC的形状是________；
(2)在图(1)中确定一点D，连接DB，DC，使△DBC与△ABC全等；
(3)在图(2)中△ABC的边BC上确定一点E，连接AE，使△ABE∽△CBA；
(4)在图(3)中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连接PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1∶2.

答案：

(1)直角三角形 [解析]
∵AB² = 4² + 2² = 20，AC² = 2² + 1² = 5，BC² = 5² = 25，
∴AB² + AC² = BC².
∴△ABC是直角三角形.
(2)如图
(1)，点D即为所求作，使△DBC与△ABC全等. (答案不唯一)
(3)如图
(2)所示，点E即为所作，且使△ABE∽△CBA.
(4)如图
(3)，点P，Q即为所求，使得△PBQ∽△ABC，且相似比为1∶2.