《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

21.（8分）（2023·重庆黔江区武陵初级中学一模）设函数$y_1=\frac{k}{x}$，$y_2=-\frac{k}{x}(k＞0)$.
（1）当1≤x≤2时，函数$y_1$的最大值是a，函数$y_2$的最小值是a - 2，求a和k的值.
（2）设m≠0且m≠1，当x = m时，$y_2 = p$. 当x = m - 1时，$y_2 = q$. 芳芳说：“p一定大于q”. 你认为芳芳的说法正确吗？为什么？

答案：
(1)
∵k＞0，1≤x≤2，
∴y₁随x的增大而减小，y₂随x的增大而增大，
∴当x = 1时，y₁最大值为k = a①；y₂最小值为 - k = a - 2②. 由①②，得a = 1，k = 1.
(2)芳芳的说法不正确. 理由如下：①当m＜0时，m - 1＜m＜0，则0＜q＜p；②当0＜m＜1时，m - 1＜0＜m，则p＜0＜q；③当m＞1时，0＜m - 1＜m，则q＜p＜0. 故芳芳的说法不正确.

22.（8分）如图，在等腰三角形ABC中，$AB = AC=\frac{5}{2}$，BC = 4，点B在y轴上，BC//x轴，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A，交BC于点D.
（1）若OB = 3，求k的值；
（2）连接CO，若AB = BD，求四边形ABOC的周长.

答案：

(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E交x轴于点F，则AF//y轴，

∵BC//x轴，
∴四边形BOFE是矩形.
∴EF = OB = 3.
∵AB = AC = $\frac{5}{2}$，BC = 4，
∴BE = $\frac{1}{2}$BC = 2.
∴AE = $\sqrt{AB² - BE²}$ = $\frac{3}{2}$.
∴A(2,$\frac{9}{2}$).
∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点A，
∴k = 2×$\frac{9}{2}$ = 9.
(2)设OB = a，
∵BD = AB = $\frac{5}{2}$，
∴A(2,$\frac{3}{2}$ + a)，D($\frac{5}{2}$,a).
∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点A，交BC于点D，
∴2($\frac{3}{2}$ + a) = $\frac{5}{2}$a，解得a = 6，
∴OB = 6.
∴OC = $\sqrt{OB² + BC²}$ = $\sqrt{4² + 6²}$ = 2$\sqrt{13}$.
∴四边形ABOC的周长 = AB + OB + OC + AC = 11 + 2$\sqrt{13}$.