《2025年单元双测全优测评卷九年级数学下册人教版》

8.(2022·牡丹江中考)小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高为( ).

A. (600－250$\sqrt{3}$)米
B. (600$\sqrt{3}$－250)米
C. (350＋350$\sqrt{3}$)米
D. 500$\sqrt{3}$米

答案： B

9.(2022·毕节中考)如图，某地修建一座高BC=5 m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1∶$\sqrt{3}$，则斜坡AB的长度为( ).

A. 10 m
B. 10$\sqrt{3}$ m
C. 5 m
D. 5$\sqrt{3}$ m

答案： A [解析]
∵i = 1:$\sqrt{3}$，BC = 5 m，
∴$\frac{BC}{AC}$ = $\frac{5}{AC}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得AC = 5$\sqrt{3}$ m.
∴AB = $\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}}$ = 10(m).
故选A.

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=8，D，E分别为边AB，BC上一点，且满足AD∶DB=1∶3. 连接DE，将△DBE沿DE翻折，点B的对应点F恰好落在边AC上，则CF的长度为( ).

A. $\frac{19\sqrt{5}-\sqrt{205}}{5}$
B. $\frac{27}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{205}}{5}$
D. $\frac{31}{5}$

答案： A

11.(2023·内江中考)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足a²＋|c－10|＋$\sqrt{b - 8}$=12a－36，则sin B的值为________.

答案： $\frac{4}{5}$ [解析]
∵a² + |c - 10| + $\sqrt{b - 8}$ = 12a - 36，
∴a² - 12a + 36 + |c - 10| + $\sqrt{b - 8}$ = 0，
∴(a - 6)² + |c - 10| + $\sqrt{b - 8}$ = 0，
∴a - 6 = 0，c - 10 = 0，b - 8 = 0，
解得a = 6，b = 8，c = 10，
∴a² + b² = 6² + 8² = 100 = 10² = c²，
∴∠C = 90°，
∴sin B = $\frac{b}{c}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$.
关键提醒：本题考查的是利用完全平方公式分解因式、算术平方根、绝对值、偶次方的非负性、勾股定理的逆定理的应用以及锐角的正弦的含义，证明∠C = 90°是解本题的关键.

12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=6，tan B=$\frac{3}{4}$，则CE=________.

答案： 3

13. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________m.(结果保留根号)

答案：
($\frac{5}{3}\sqrt{3}-1.6$) [解析]如图，在Rt△DEA中，

∵cos∠EDA = $\frac{DE}{DA}$，
∴DA = $\frac{5}{\cos45^{\circ}}$ = 5$\sqrt{2}$(m).
在Rt△BCF中，
∵cos∠BCF = $\frac{CF}{CB}$，
∴CB = $\frac{5}{\cos30^{\circ}}$ = $\frac{10\sqrt{3}}{3}$(m).
∴BF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5\sqrt{3}}{3}$(m).
∵AB + AE = EF + BF，
∴AB = 3.4 + $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ - 5 = ($\frac{5\sqrt{3}}{3}-1.6$)m.
故AB的长为($\frac{5\sqrt{3}}{3}-1.6$)m.
方法诠释：本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).