《2025年学考A加同步课时练八年级数学下册人教版》

5.如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE//BC，连接AE.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)①若AB=17，BC=16，则四边形ADCE的面积=________；
②若AB=10，则BC=________时，四边形ADCE是正方形.

答案：
(1)证明：$\because$点$O$是$AC$中点，
$\therefore AO = OC$，
$\because OE = OD$，
$\therefore$四边形$ADCE$是平行四边形，
$\because AD$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$上的高，
$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ADCE$是矩形.
(2)解：①$\because AD$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$上的高，$BC = 16$，$AB = 17$，
$\therefore BD = CD = 8$，$AB = AC = 17$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}} = 15$，
$\therefore$四边形$ADCE$的面积是$AD\times DC = 15\times8 = 120$.
②当$AB = 10$，$BC = 10\sqrt{2}$时，四边形$ADCE$是正方形，理由如下：
$\because AB = AC = 10$，$BC = 10\sqrt{2}$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-(5\sqrt{2})^{2}} = 5\sqrt{2}=DC$，
$\because AD\perp BC$，
$\therefore$四边形$ADCE$是正方形；
故答案为$120$；$10\sqrt{2}$.

6.如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.
(1)△EFD≌△GFB；
(2)试判断四边形EBGD的形状，并说明理由；
(3)当△ABC满足条件_______时，四边形EBGD是正方形.(不用说明理由)

答案： 解：
(1)$\because EG$垂直平分$BD$，
$\therefore EB = ED$，$GB = GD$，
$\therefore\angle EBD=\angle EDB$.
$\because\angle EBD=\angle DBC$，
$\therefore\angle EDF=\angle GBF$.
在$\triangle EFD$和$\triangle GFB$中，
$\begin{cases}\angle EDF=\angle GBF,\\\angle EFD=\angle GFB,\\DF = BF,\end{cases}$
$\therefore\triangle EFD\cong\triangle GFB$.
(2)四边形$EBGD$是菱形.
理由：$\because EG$垂直平分$BD$，
$\therefore EB = ED$，$GB = GD$，
$\therefore\angle EBD=\angle EDB$，
$\because\angle EBD=\angle DBC$，
$\therefore\angle EDF=\angle GBF$，
在$\triangle EFD$和$\triangle GFB$中，
$\begin{cases}\angle EDF=\angle GBF,\\\angle EFD=\angle GFB,\\DF = BF,\end{cases}$
$\therefore\triangle EFD\cong\triangle GFB$，
$\therefore ED = BG$，
$\therefore BE = ED = DG = GB$，
$\therefore$四边形$EBGD$是菱形.
(3)当$\triangle ABC$是直角三角形，即$\angle ABC = 90^{\circ}$时，四边形$EBGD$是正方形，根据有一个角是直角的菱形是正方形可以得出.
故答案为$\angle ABC = 90^{\circ}$.