《2025年学考A加同步课时练八年级数学下册人教版》

11. 已知$\sqrt{a - 17}+\sqrt{17 - a}=b + 8$.
（1）求a的值；
（2）求$a^{2}-b^{2}$的算术平方根.

答案： 解：
(1)$\sqrt{a - 17}+\sqrt{17 - a}=b + 8$，
∴$a - 17\geqslant 0$且$17 - a\geqslant 0$，
　解得$a = 17$.
(2)
∵$a = 17$，
∴$b + 8 = 0$，
∴$b = - 8$，
∴$a^{2}-b^{2}$的算术平方根是$\sqrt{17^{2}-(-8)^{2}}=15$.

12. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a - b| - $\sqrt{a^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}}$.

答案： 解：由图知$a ＜ 0 ＜ b$，且$|a| ＜ |b|$，则原式$=b - a + a-(a + b)=b - a + a - a - b=-a$.

13. 观察下列各式：①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，….
（1）请观察规律，并写出第④个等式：________；
（2）请用含n(n≥1)的式子写出你猜想的规律：________；
（3）请证明（2）中的结论.

答案： 解：
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$.
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.
(3)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n}{n + 2}+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.