《2025年学考A加同步课时练八年级数学下册人教版》

8. 如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线.
　　(1)求证：△ADE≌△CBF；
　　(2)若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形.
　　

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC,AB = CD,∠A = ∠C,
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
∴AE = $\frac{1}{2}$AB,CF = $\frac{1}{2}$CD,
∴AE = CF.
在△ADE和△CBF中，
∵$\begin{cases}AD = BC,\\\angle A = \angle C,\\AE = CF,\end{cases}$
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)证明:
∵E,F分别为边AB,CD的中点，
∴DF = $\frac{1}{2}$DC,BE = $\frac{1}{2}$AB,
又
∵在□ABCD中,AB//CD,AB = CD,
∴DF//BE,DF = BE,
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC,
∴∠DBC = 90°,
∴△DBC为直角三角形,
又
∵F为边DC的中点，
∴BF = $\frac{1}{2}$DC = DF,
又
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形.

9. 如图，AE//BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD.
　　(1)求∠AOD的度数；
　　(2)求证：四边形ABCD是菱形.
　　

答案：
(1)解:
∵AC,BD分别是∠BAD,∠ABC的平分线，
∴∠DAC = ∠BAC,∠ABD = ∠DBC.
∵AE//BF,
∴∠DAB + ∠CBA = 180°,
∴∠BAC + ∠ABD = $\frac{1}{2}$(∠DAB + ∠ABC) = $\frac{1}{2}$×180° = 90°,
∴∠AOD = 90°.
(2)证明:
∵AE//BF,
∴∠ADB = ∠DBC,∠DAC = ∠BCA,
∵AC,BD分别是∠BAD,∠ABC的平分线，
∴∠DAC = ∠BAC,∠ABD = ∠DBC,
∴∠BAC = ∠ACB,∠ABD = ∠ADB,
∴AB = BC,AB = AD,
∴AD = BC,
∵AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD = AB,
∴四边形ABCD是菱形.