《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

跟踪训练
5. 设数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}+3a_{2}+·s+(2n - 1)a_{n}=n$，则$a_{4}=$(C)

A.7
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{7}$
D.$\frac{1}{8}$

答案： 跟踪训练5.C 令$n = 4$，可得$a_1+3a_2+5a_3+7a_4=4$，令$n = 3$，可得$a_1+3a_2+5a_3=3$，
两式相减可得$7a_4=1$，所以$a_4=\frac{1}{7}$.

1. 已知$S_{n}$是数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，$S_{n}=n^{2}+2n$，则$a_{2}=$(C)

A.1
B.3
C.5
D.8

答案： 1.C 由题意知$S_n=n^2+2n$，所以$a_2=S_2-S_1=4 + 4-1-2=5$，故C正确.

2. 已知数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}=2$，递推公式为$a_{n}=2-\frac{1}{a_{n - 1}}(n\geqslant 2)$，则$a_{3}=$(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 2.D 由题意$a_2=2-\frac{1}{a_1}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},a_3=2-\frac{1}{a_2}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，且$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{na_{n}+1}$，则$a_{5}=$(B)

A.$\frac{1}{10}$
B.$\frac{1}{11}$
C.$\frac{1}{14}$
D.$\frac{1}{16}$

答案： 3.B 由数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且$a_{n + 1}=\frac{a_n}{na_n + 1}$，可得$a_2=\frac{a_1}{a_1 + 1}=\frac{1}{2},a_3=\frac{a_2}{2a_2 + 1}=\frac{1}{4},a_4=\frac{a_3}{3a_3 + 1}=\frac{1}{7},a_5=\frac{a_4}{4a_4 + 1}=\frac{1}{11}$.

4. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=-\frac{1}{4}$，$a_{n}· a_{n - 1}=a_{n - 1}-1(n\geqslant 2)$，则$a_{2026}=$$-\frac{1}{4}$。

答案： 4.答案：$-\frac{1}{4}$
解析：由$a_n· a_{n - 1}=a_{n - 1}-1(n\geq2)$，得$a_n=1-\frac{1}{a_{n - 1}}(n\geq2)$，
又$a_1=-\frac{1}{4}$，得$a_2=1-\frac{1}{a_1}=5,a_3=1-\frac{1}{a_2}=\frac{4}{5},a_4=1-\frac{1}{a_3}=-\frac{1}{4}=a_1$，
所以数列$\{a_n\}$是以3为周期的数列，得$a_{2026}=a_{675×3 + 1}=a_1=-\frac{1}{4}$.

[例1] 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画出点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中实心点的个数依次为$5,9,14,20,·s$，这样的一组数被称为梯形数，记此数列为$\{ a_{n}\} ，$则 (D)


A.$a_{n + 1} + a_{n} = n + 2$
B.$a_{n + 1} - a_{n} = n + 2$
C.$a_{n + 1} + a_{n} = n + 3$
D.$a_{n + 1} - a_{n} = n + 3$

答案： [例1][答案] D
[解析] 观察梯形数的前几项，得：
$a_2 - a_1 = 4$，
$a_3 - a_2 = 5$，
$a_4 - a_3 = 6$，
$·s$
由此可得$a_{n + 1} - a_n = n + 3$。