《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. (多选)函数$f(x)=(x - 3)e^{x}$在下列区间上单调递增的是(CD)

A.$(-\infty,2)$
B.$(0,3)$
C.$(3,4)$
D.$(2,+\infty)$

答案： 1.CD　因为$f^{\prime}(x)=e^{x}+(x - 3)e^{x}=(x - 2)e^{x}$，由$f^{\prime}(x)＞0$得$(x - 2)e^{x}＞0$，所以$x＞2$，所以$f(x)$的单调递增区间为$(2,+\infty)$ ,C,D符合。

2. 已知函数$y = f(x)(x\in R)$的导函数$f'(x)$的图象如图所示，则函数$y = f(x)$(D)


A.在$(-\infty,0)$上单调递减
B.在$(0,+\infty)$上单调递增
C.在$R$上单调递减
D.在$R$上单调递增

答案： 2.D　因为导函数图象在$x$轴及$x$轴上方，则$f^{\prime}(x)\geq0$，函数$f(x)$为增函数，所以$f(x)$在$\mathrm{R}$上递增。

3. 函数$f(x)=x\ln x$的单调递减区间为(A)

A.$(0,\frac{1}{e})$
B.$(\frac{1}{e},+\infty)$
C.$(-\infty,\frac{1}{e})$
D.$(0,1)$

答案： 3.A　函数定义域是$(0,+\infty)$，由已知得$f^{\prime}(x)=\ln x + 1$，由$f^{\prime}(x)=\ln x + 1＜0$得$0＜x＜\frac{1}{e}$，所以单调递减区间为$(0,\frac{1}{e})$。

4. 函数$f(x)=x + 2\cos x$，$x\in(0,\pi)$的单调递减区间是$(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$。

答案： 4.答案：$(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$
解析：由$f^{\prime}(x)=1 - 2\sin x＜0$，得$\sin x＞\frac{1}{2}$，又$x\in(0,\pi)$，所以$x\in(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})$。

[例 1] 讨论函数 $f(x)=\frac{1}{2}ax^{2}+x-(a + 1)\ln x$ $(a\geqslant0)$ 的单调性.
[分析] 求导数→对 $a$ 进行分类讨论→每种情况下确定函数在定义域上的单调性.

答案： [例1] [解] 函数$f(x)$的定义域为$(0,+∞)$，$f'(x)=ax + 1 - \frac{a + 1}{x}=\frac{ax^{2}+x-(a + 1)}{x}$
①当$a = 0$时，$f'(x)=\frac{x - 1}{x}$
由$f'(x)＞0$，得$x＞1$；由$f'(x)＜0$，得$0＜x＜1$。
故$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+∞)$上单调递增.
②当$a＞0$时，
$f'(x)=\frac{a(x + \frac{a + 1}{a})(x - 1)}{x}$
$\because a＞0,\therefore\frac{a + 1}{a}＞0$。
由$f'(x)＞0$，得$x＞1$；由$f'(x)＜0$，得$0＜x＜1$。
故$f'(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+∞)$上单调递增.
综上所述，当$a\geq0$时，$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+∞)$上单调递增.

1. 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{a}{2}x^{2}+(a - 1)x + 1$.
(1)若曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与直线 $8x + 2y + 1 = 0$ 平行，求出这条切线的方程；
(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间.

答案： 跟踪训练 1.解：
(1)由题得$f'(x)=x^{2}+ax+(a - 1)$，则$f'(1)=1 + a+(a - 1)=2a$，
$\because y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$8x + 2y + 1 = 0$平行，
则$2a=-4$，解得$a=-2$。
又$f(1)=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}+(a - 1)+1=-\frac{8}{3}$，
$\therefore$曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线为$y+\frac{8}{3}=-4(x - 1)$，即$12x + 3y - 4 = 0$。
(2)$f'(x)=x^{2}+ax+(a - 1)=(x + a - 1)(x + 1)$，
令$f'(x)=0$，得$x=-1$或$x=1 - a$。
①当$1 - a＜-1$，即$a＞2$时，
$x$ $(-\infty,1 - a)$ $(-1,1 - a)$ $(1 - a,+∞)$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 $f(1 - a)$ 单调递减 $f(-1)$ 单调递增
②当$1 - a=-1$，即$a = 2$时，$f'(x)\geq0$恒成立，
$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，无单调递减区间.
(iii)当$1 - a＞-1$，即$a＜2$时，
$x$ $(-\infty,-1)$ $(-1,1 - a)$ $(1 - a,+∞)$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ 单调递增 $f(-1)$ 单调递减 $f(1 - a)$ 单调递增
综上所述，当$a＞2$时，$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,1 - a),(-1,+∞)$，单调递减区间为$(1 - a,-1)$；
当$a = 2$时，$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，无单调递减区间；
当$a＜2$时，$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,-1),(1 - a,+∞)$，单调递减区间为$(-1,1 - a)$。