《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 等比数列通项公式的推广和变形$a_{n} =$$amq^{n - m}$.
2. 设数列$\{a_{n}\}$为等比数列，则：
(1) 若$k + l = m + n(k,l,m,n \in \mathbf{N}^{*})$，则$a_{k} · a_{l} = a_{m} · a_{n}$.
(2) 若$m,p,n$成等差数列，则$a_{m},a_{p},a_{n}$成等比数列.

答案： 1.$amq^{n - m}$
2.
(1)$a_{k} · a_{l} = am · a_{n}$ $(2)a_{m},a_{p},a_{n}$

[例2]
在等比数列$\{a_{n}\}$中：
(1) 已知$a_{3} + a_{6} = 36$，$a_{4} + a_{7} = 18$，$a_{n} =\frac{1}{2}$，求$n$；
(2) 已知$a_{5} = 8$，$a_{7} = 2$，$a_{n} ＞ 0$，求$a_{n}$.

答案： [解] 设等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$.
(1) 由$\begin{cases}a_{4} + a_{7} = q(a_{3} + a_{6}) = 18, \\a_{3} + a_{6} = 36,\end{cases}$得$q$
$ = \frac{1}{2}$.
再由$a_{3} + a_{6} = a_{3} · (1 + q^{3}) = 36$得$a_{3} = 32$，
则$a_{n} = a_{3} · q^{n - 3} = 32 × (\frac{1}{2})^{n - 3} = (\frac{1}{2})^{n - 8}$，
所以$n - 8 = 1$，所以$n = 9$.
(2)由$a_{5} = 8,a_{7} = a_{5} · q^{2} = 2$，得$q^{2} = \frac{1}{4}$.
因为$a_{n} ＞ 0$，所以$q = \frac{1}{2}$，
所以$a_{n} = a_{5} · q^{n - 5} = 8 × (\frac{1}{2})^{n - 5} = (\frac{1}{2})^{n - 8}$.

[例3]
已知$\{a_{n}\}$为等比数列.
(1) 若$\{a_{n}\}$满足$a_{2}a_{4} =\frac{1}{2}$，求$a_{1} · a_{3}^{2} · a_{5}$；
(2) 若$a_{n} ＞ 0$，$a_{5}a_{7} + 2a_{6}a_{8} + a_{6}a_{10} = 49$，求$a_{6} + a_{8}$；
(3) 若$a_{n} ＞ 0$，$a_{5}a_{6} = 9$，求$\log_{3}a_{1} + \log_{3}a_{2} + ·s + \log_{3}a_{10}$的值.

答案： [解]
(1)在等比数列$\{ a_{n}\}$中，
$\because a_{2}a_{4} = \frac{1}{2},\therefore a_{3}^{2} = a_{1}a_{5} = a_{2}a_{4} = \frac{1}{2}$，
$\therefore a_{1}a_{3}a_{5} = \frac{1}{4}$.
(2)由等比中项，化简条件得$a_{6}^{2} + 2a_{6}a_{8} + a_{8}^{2} = 49$，即$(a_{6} + a_{8})^{2} = 49$，
$\because a_{n} ＞ 0,\therefore a_{6} + a_{8} = 7$.
(3)由等比数列的性质知$a_{5}a_{6} = a_{1}a_{10} = a_{2}a_{9} = a_{3}a_{8} = a_{4}a_{7} = 9$，
$\therefore \log_{3}a_{1} + \log_{3}a_{2} + ·s + \log_{3}a_{10} = \log_{3}(a_{1}a_{2} · ·s · a_{10}) = \log_{3}[(a_{1}a_{10})(a_{2}a_{9})(a_{3}a_{8})(a_{4}a_{7})(a_{5}a_{6})] = \log_{3}9^{5} = 10$.

跟踪训练
2. (多选)已知等比数列$\{a_{n}\}$满足$1 + a_{4}a_{8} = 2a_{7}$，则(ACD)

A.$a_{1} ＞ 0$
B.$q \geq 1$
C.$a_{3} \leq a_{5}$
D.$a_{2}a_{4} \leq a_{3}a_{5}$

答案： 设公比为$q$.
对于A，因为$1 + a_{4}a_{8} = 2a_{7}$，所以$1 + a_{1}^{2}q^{6} = 2a_{1}q^{6} ＞ 0$，所以$a_{1} ＞ 0$，A正确.
对于B，因为$1 + a_{4}a_{8} = 2a_{7}$，所以$a_{1}^{2} - 2a_{1}a_{6} + 1 = 0$，要使得$a_{6}$存在，则$\Delta = 4a_{6}^{2} - 4 \geqslant 0$，
即$q^{2} \geqslant 1$，所以$q \geqslant 1$或$q \leqslant - 1$，B错误.
对于C，因为$a_{3} - a_{5} = (1 - q^{2})a_{3}$，又因为$a_{3} = a_{1} · q^{2} ＞ 0$，所以$a_{1} \leqslant a_{5}$，C正确.
对于D，因为$a_{2}a_{4} - a_{3}a_{5} = a_{3}^{2} - a_{4}^{2} = a_{3}^{2}(1 - q^{2}) \leqslant 0$，所以$a_{2}a_{4} \leqslant a_{3}a_{5}$，D正确.