《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 设等差数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d$，则
(1)$a_{n} = dn + (a_{1} - d)(n \in \mathbf{N}^{*})$；
(2)$a_{n} = a_{m} +$(n - m)d$(m,n \in \mathbf{N}^{*})$；
(3)$d = \frac{a_{n} - a_{m}}{n - m}(m,n \in \mathbf{N}^{*}$，且$m \neq n)$.
2. 下标性质：在等差数列$\{ a_{n}\}$中，若$m + n = p + q(m,n,p,q \in \mathbf{N}^{*})$，则$a_{m} + a_{n} =$$a_{p} + a_{q}$.特别地，若$m + n = 2p(m,n,p \in \mathbf{N}^{*})$，则有$a_{m} + a_{n} =$$2a_{p}$.
3. 在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
4. 等差数列$\{ a_{n}\}$的公差为$d$，则$d ＞ 0 \Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为递增数列；$d ＜ 0 \Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为递减数列；$d = 0 \Leftrightarrow \{ a_{n}\}$为常数列.

答案： 1.
(2)$(n - m)d$
2.$a_{p} + a_{q}$
4.递增递减

[例 2] 已知$\{ a_{n}\}$是等差数列，$a_{6} = 8,a_{8} = 6$，则$a_{14} =$
(C)

A.$- 14$
B.$- 6$
C.$0$
D.$14$

答案： C
[解析]设等差数列的公差为$d$,则$2d = a_{8} - a_{6} = - 2$,解得$d = - 1$,所以$a_{14} = a_{8} + 6d = 6 - 6 = 0$.

[例 3] (多选)在等差数列$\{ a_{n}\}$中，公差$d ＞ 0,a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} = 0$，则下列一定成立的是(ABC)

A.$a_{1} ＜ 0$
B.$a_{5} + a_{6} = 0$
C.$a_{2} + a_{11} ＞ 0$
D.$a_{2} + a_{11} ＜ 0$

答案： [答案]ABC
[解析]$d ＞ 0$,则$\{ a_{n}\}$是递增数列,因此
$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} = 0$得$a_{1} ＜ 0,a_{10} ＞ 0$,
A正确.
$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{10} = 5(a_{1} + a_{10}) = 5(a_{5} + a_{6}) = 0$,即$a_{1} + a_{10} = a_{5} + a_{6} = 0$,B正确.
因为$a_{1} + a_{10} = 0$,所以$a_{2} + a_{11} = a_{1} + a_{10} + 2d ＞ 0$,C正确,D错误.

2. 已知$\{ a_{n}\}$为递增等差数列，$a_{4} + a_{7} = 2,a_{5}a_{6} = - 8$，则$\{ a_{n}\}$的公差$d =$
(C)

A.$7$
B.$5$
C.$6$
D.$8$

答案： C因为$a_{4} + a_{7} = 2$,所以$a_{5} + a_{6} = a_{4} + a_{7} = 2$.又因为$a_{5}a_{6} = - 8$,所以$\begin{cases}a_{5} = - 2,\\a_{6} = 4,\end{cases}$或$\begin{cases}a_{5} = 4,\\a_{6} = - 2.\end{cases}$又因为$\{ a_{n}\}$为递
增等差数列,所以$\begin{cases}a_{5} = - 2,\\a_{6} = 4,\end{cases}$
则$d = a_{6} - a_{5} = 6$.

3. 数列$\{ a_{n}\}$满足$3 + a_{n} = a_{n + 1}$且$a_{2} + a_{4} + a_{6} = 9$，则$\log_{6}(a_{5} + a_{7} + a_{9})$的值是
(C)

A.$- 2$
B.$- \frac{1}{2}$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： C由$3 + a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} = 3$,所以
$\{ a_{n}\}$是公差$d$为3的等差数列.
又因为$a_{2} + a_{4} + a_{6} = 9$,且$a_{2} + a_{6} = 2a_{4}$,所
以$3a_{4} = 9$,则$a_{4} = 3$,所以$a_{7} = a_{4} + 3d = 3 + 3 × 3 = 12$,
故$\log_{6}(a_{5} + a_{7} + a_{9}) = \log_{6}(3a_{7}) = \log_{6}36 = 2$.

若$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$分别是公差为$d,d^{\prime}$的等差数列，则有
| 数列 | 结论 |
| --- | --- |
| $\{ c + a_{n}\}$ | 公差为的等差数列($c$为任一常数) |
| $\{ c · a_{n}\}$ | 公差为的等差数列($c$为任一常数) |
续表


| 数列 | 结论 |
| --- | --- |
| $\{ a_{n} + a_{n + k}\}$ | 公差为的等差数列($k$为常数，$k \in \mathbf{N}^{*}$) |
| $\{ pa_{n} + qb_{n}\}$ | 公差为的等差数列($p,q$为常数) |

答案： 1. $d$
2. $cd$
3. $2d$
4. $pd+qd'$