《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例3] 在等比数列$\{ a_n \}$中。
(1)$ a_1 = 1 $，$ a_4 = 8 $，求$ a_n $；
(2)$ a_n = 625 $，$ n = 4 $，$ q = 5 $，求$ a_1 $；
(3)$ a_2 + a_5 = 18 $，$ a_3 + a_6 = 9 $，$ a_n = 1 $，求$ n $。

答案： [例3] [解]
(1)因为$a_4 = a_1q^3$，所以$8 = q^3$，所以$q = 2$，所以$a_n = a_1q^{n - 1} = 2^{n - 1}$.
(2)$a_1 = \frac{a_n}{q^{n - 1}} = \frac{625}{5^4 - 1} = 5$，故$a_1 = 5$.
(3)因为$\begin{cases} a_2 + a_5 = a_1q + a_1q^4 = 18, &① \\ a_3 + a_6 = a_1q^2 + a_1q^5 = 9, &② \end{cases}$
由$\frac{②}{①}$，得$q = \frac{1}{2}$，从而$a_1 = 32$.又因为$a_n = 1$，所以$32 × (\frac{1}{2})^{n - 1} = 1$，即$2^{6 - n} = 2^0$，故$n = 6$.

5. 已知数列$\{ a_n \}$为等比数列，若数列$\{ a_n + \lambda \}(\lambda \neq 0)$仍为等比数列，且$ a_3 = 3 $，则$ a_{2024} $的值为(B)

A.$ 1 $
B.$ 3 $
C.$ 3^{2022} $
D.$ 3^{2024} $

答案： 跟踪训练 5.B 因为$\{a_n\}$为等比数列，所以$a_{n + 1}^2 = a_n · a_{n + 2}$，又因为数列$\{a_n + \lambda\}(\lambda ≠ 0)$为等比数列，所以$(a_{n + 1} + \lambda)^2 = (a_n + \lambda) · (a_{n + 2} + \lambda)$，即$a_{n + 1} + a_nq^2 = 2a_nq$，即$q^2 - 2q + 1 = 0$，解得$q = 1$，所以可得数列$\{a_n\}$的公比$q = 1$，又因为$a_3 = 3$，所以$a_{2024} = 3$.

6. 已知数列$\{ a_n \}$是等比数列，且公比大于$ 0 $，则“$ q ＞ 1 $”是“数列$\{ a_n \}$是递增数列”的(D)

A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 6.D 当$a_1 ＜ 0$，$q ＞ 1$时，数列$\{a_n\}$为递减数列，即充分性不成立；当“数列$\{a_n\}$是递增数列”时，可能是$a_1 ＜ 0$，$0 ＜ q ＜ 1$，即必要性不成立，即“$q ＞ 1$”是“数列$\{a_n\}$是递增数列”的既不充分也不必要条件.

1. 若数列$\{ a_n \}$为等比数列，$ a_1 = 2 $，$ a_2 = 6 $，则公比$ q = $(C)

A.$ -4 $
B.$\frac{1}{3}$
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 课堂达标·素养提升
1.C 由题意得：$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{2} = 3$.

2. 在等比数列$\{ a_n \}$中，$ a_4 = 48 $，$ a_6 = 12 $，则$ a_4 $与$ a_6 $的等比中项为(C)

A.$ 24 $
B.$ -24 $
C.$ \pm 24 $
D.$ 30 $

答案： 2.C $\because a_4$与$a_6$的等比中项为$a_5$，$\therefore a_5^2 = a_4a_6 = 576$，则$a_5 = \pm 24$.

3. 已知正项等比数列$\{ a_n \}$的前$ 2 $项和为$ 6 $，$ a_4 - a_2 = 12 $，则$ a_6 = $(B)

A.$ 128 $
B.$ 64 $
C.$ 32 $
D.$ 16 $

答案： 3.B 设公比为$q(q ＞ 0)$，则$a_1 + a_2 = 6$，$a_4 - a_2 = 12$，显然$a_1 ＞ 0$，所以$\begin{cases} a_1 + a_1q = 6, \\ a_1q^3 - a_1q = 12, \end{cases}$解得$\begin{cases} q = 2, \\ a_1 = 2, \end{cases}$所以$a_6 = 2^6 = 64$.

4. 已知数列$\{ a_n \}$为等比数列，且$ a_2 = 3 $，$ a_6 = 243 $，则$\{ a_n \}$的通项公式为$a_n = 3^{n - 1}$或$a_n = (-1)^n · 3^{n - 1}$。

答案： 4.答案:$a_n = 3^{n - 1}$或$a_n = (-1)^n · 3^{n - 1}$
解析:设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，则$\begin{cases} a_2 = a_1q = 3, \\ a_6 = a_1q^5 = 243, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_1 = 1, \\ q = 3, \end{cases}$或$\begin{cases} a_1 = -1, \\ q = -3, \end{cases}$所以$a_n = 3^{n - 1}$或$a_n = -1 × (-3)^{n - 1} = (-1)^n · 3^{n - 1}$.