《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

已知$f(x),g(x)$为可导函数.
1. $[f(x)g(x)]' =$$f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$,
特别地,$[cf(x)]' =$$cf^\prime(x)$.
2. $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}(g(x)\neq0)$.

答案： 1.$f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\quad cf^\prime(x)$

[例 2] 求下列函数的导数:
(1)$y = x^2 + x\ln x$;
(2)$y = \frac{\ln x}{x^2}$;
(3)$y = \frac{e^x}{x}$;
(4)$y = (2x^2 - 1)(3x + 1)$;
(5)$y = x\tan x$.

答案： [例2][解]
(1)$y^\prime=(x^2+x\ln x)^\prime=(x^2)^\prime+(x\ln x)^\prime$
$=2x+x^\prime\ln x+x(\ln x)^\prime$
$=2x+\ln x+x·\frac{1}{x}$
$=2x+\ln x + 1$。
(2)$y^\prime=(\frac{\ln x}{x^2})^\prime=\frac{(\ln x)^\prime· x^2-\ln x(x^2)^\prime}{x^4}$
$=\frac{\frac{1}{x}· x^2 - 2x\ln x}{x^4}$
$=\frac{1 - 2\ln x}{x^3}$
(3)$y^\prime=(\frac{e^x}{x})^\prime=\frac{(e^x)^\prime x - e^x(x)^\prime}{x^2}$
$=\frac{e^x· x - e^x}{x^2}=\frac{e^x(x - 1)}{x^2}$
(4)法一：$y^\prime=[(2x^2 - 1)(3x + 1)]^\prime=(2x^2 - 1)^\prime(3x + 1)+(2x^2 - 1)(3x + 1)^\prime$
$=4x(3x + 1)+(2x^2 - 1)×3$
$=12x^2+4x+6x^2 - 3$
$=18x^2+4x - 3$。
法二：$\because y=(2x^2 - 1)(3x + 1)=6x^3+2x^2 - 3x - 1$，
$\therefore y^\prime=(6x^3+2x^2 - 3x - 1)^\prime$
$=(6x^3)^\prime+(2x^2)^\prime-(3x)^\prime-(1)^\prime$
$=18x^2+4x - 3$。
(5)$y^\prime=(x·\tan x)^\prime=(\frac{x\sin x}{\cos x})^\prime$
$=\frac{(x\sin x)^\prime\cos x - x\sin x(\cos x)^\prime}{\cos^2x}$
$=\frac{(\sin x+x\cos x)\cos x+x\sin^2x}{\cos^2x}$
$=\frac{\sin x\cos x+x}{\cos^2x}$

跟踪训练
2. 求下列函数的导数:
(1)$y = (\log_3x)\sin x$;
(2)$y = x\tan x - 2\ln x$;
(3)$y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$;
(4)$y = \frac{x^2}{x + 1}$;
(5)$y = \frac{x\sin x}{\ln x}$.

答案： 跟踪训练 2. 解：
(1)$y^\prime=\frac{\sin x}{x\ln 3}+(\log_3x)^\prime\cos x$。
(2)$y^\prime=\tan x+x(\tan x)^\prime-\frac{2}{x}=\tan x+x(\frac{\sin x}{\cos x})^\prime-\frac{2}{x}=\tan x+\frac{x}{\cos^2x}$。
(3)$y=(x - 1)(x - 2)(x - 3)=x^3 - 6x^2+11x - 6$，$y^\prime=3x^2 - 12x+11$。
(4)$y^\prime=\frac{2x(x + 1)-x^2}{(x + 1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x + 1)^2}$。
(5)$y^\prime=\frac{(\sin x+x\cos x)\ln x-(x\sin x)\frac{1}{x}}{(\ln x)^2}$
$=\frac{\sin x(\ln x - 1)+x\cos x\ln x}{(\ln x)^2}$