《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

[例2] 求函数$y = x - \frac{1}{x}$在$x = 1$处的导数.
[分析] 根据$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数的定义计算.

答案： [解]
∵$\Delta y=(1+\Delta x)-\frac{1}{1+\Delta x}-\left(1-\frac{1}{1}\right)=\Delta x+\frac{\Delta x}{1+\Delta x}$，
$\therefore\frac{\Delta y}{\Delta x}=1+\frac{1}{1+\Delta x}$，
$\therefore\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\left(1+\frac{1}{1+\Delta x}\right)=2$。
从而$y'\big|_{x = 1}=2$。

▪ 跟踪训练 ▪
3. 已知$f(x) = \frac{2}{x}$，且$f'(m) = - \frac{1}{2}$，则$m$的值等于 (D)

A.$-4$
B.$2$
C.$-2$
D.$\pm 2$

答案： 3.D 因为$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(m+\Delta x)-f(m)}{\Delta x}=\frac{\frac{2}{m+\Delta x}-\frac{2}{m}}{\Delta x}=\frac{-2}{m(m+\Delta x)}$，
所以$f'(m)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{-2}{m(m+\Delta x)}=\frac{-2}{m^2}$，
所以$\frac{-2}{m^2}=\frac{1}{2},m^2 = 4$，解得$m=\pm2$。

4. 已知函数$y = f(x)$，$f'(5) = -1$，则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(5 + \Delta x) - f(5 - \Delta x)}{\Delta x} =$ (D)

A.$- \frac{1}{2}$
B.$2$
C.$-1$
D.$-2$

答案： 4.D $f'(5)= - 1,\therefore\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5)}{\Delta x}=-1$。
又
∵$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5 - \Delta x)}{2\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5)}{\Delta x}=-1$，
$\therefore\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5 - \Delta x)}{2\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5)}{\Delta x}}=2\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5 - \Delta x)}{2\Delta x}=-2$，
即$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(5+\Delta x)-f(5 - \Delta x)}{\Delta x}=-2$。

[例3] 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润$c$(单位：万元)与产量$x$(单位：千台)之间的关系式为$c(x) = -2x^2 + 7x + 6$. 求$c'(1)$与$c'(2)$，并说明它们的实际意义.

答案： [解] 设$x = 1$时产量的改变量为$\Delta x$，
则$\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(1+\Delta x)-c(1)}{\Delta x}=\frac{-2(\Delta x)^2+3\Delta x}{\Delta x}=-2\Delta x + 3$，
$c'(1)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta c}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(-2\Delta x + 3)=3$，
设$x = 2$时产量的改变量为$\Delta x$，
则$\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(2+\Delta x)-c(2)}{\Delta x}=\frac{-2(\Delta x)^2-\Delta x}{\Delta x}=-2\Delta x - 1$，
$c'(2)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta c}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}(-2\Delta x - 1)=-1$。
$c'(1)$的实际意义：当产量为$1000$台时，多生产$1$台旋切机可多获利$3$万元；
$c'(2)$的实际意义：当产量为$2000$台时，多生产$1$台旋切机少获利$1$万元。

▪ 跟踪训练 ▪
5. 已知在使用某种杀菌剂$t$小时后室内的细菌数量为$f(t) = 10^5 + 10^4t - 10^3t^2$.
(1)求$f'(10)$.
(2)$f'(10)$的实际意义是什么?

答案： 5.
(1)由函数$f(t)=10^5+10^4t - 10^3t^2$，
当$h\neq0$时，在使用杀菌剂$10$小时附近的时间段$[10,10 + h](h＞0)$内，
可得细菌数量关于时间的平均变化率为$\frac{f(10 + h)-f(10)}{h}=\frac{10^5+10^4(10 + h)-10^3(10 + h)^2-(10^5+10^4×10 - 10^3×10^2)}{h}=\frac{-10^4h - 10^3h^2}{h}=-10^4 - 10^3h$，
当$h$趋近于$0$时，就得到$f'(10)=\lim\limits_{h\rightarrow0}(-10^4 - 10^3h)=-10^4=-10000$。
(2)$f'(10)$的实际意义是细菌数量在$t = 10$时的瞬时变化率，它表明在$t = 10$附近，细菌数量大约以每小时$10^4$的速率减少。