《2025年优化探究同步导学案高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 下列说法错误的是 (B)
A.数列$ 4,7,3,4 $的首项是$ 4 $
B.数列$ \{a_n\} $中,若$ a_1 = 3 $,则从第2项起,各项均不等于$ 3 $
C.数列$ 1,2,3,·s $就是数列$ \{n\} $
D.数列中的项不能是三角形

答案： 1.B 由数列的相关概念可知，数列4,7,3,4的首项是4，故A正确；
同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；
按一定顺序排列的一列数称为数列，所以数列1,2,3,…就是数列$\{ n \}$，故C正确；
数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确.

2. 下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 (C)
A.$ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},·s $
B.$ -1,-2,-3,-4 $
C.$ -1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},-\frac{1}{8},·s $
D.$ 1,\sqrt{2},\sqrt{3},·s,\sqrt{n} $

答案： 2.C A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意.

如果数列$ \{a_n\} $的第$ n $项$ a_n $与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式.

答案： 序号n 通项公式 函数解析式

例2
根据数列$ \{a_n\} $的通项公式,写出数列$ \{a_n\} $的前5项,并作出它们的图象.
(1) $ a_n = (-1)^n + 2 $;(2) $ a_n = \frac{n + 1}{n} $.

答案：
[例2] [解]
(1)数列$\{ a_n \}$的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如图①所示.

(2)数列$\{ a_n \}$的前5项依次是2,$\frac{3}{2}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{5}{4}$,$\frac{6}{5}$，图象如图②所示

例3
根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
(1) $ \frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,·s $;
(2) $ -2,1,-\frac{2}{3},\frac{1}{2},·s $;
(3) $ 0,1,0,1,·s $;
(4) $ 9,99,999,9\ 999,·s $.

答案： [例3] [解]
(1)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：$\frac{1}{2}$,$\frac{4}{2}$,$\frac{9}{2}$,$\frac{16}{2}$，…，所以它的一个通项公式为$a_n = \frac{n^2}{2}$,$n \in \mathbf{N}^*$.
(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，且前4项可以写为：$(-1)^1 × \frac{2}{2}$,$(-1)^2 × \frac{2}{2}$,$(-1)^3 × \frac{2}{3}$,$(-1)^4 × \frac{2}{4}$，则数列的一个通项公式可以为$a_n = (-1)^n · \frac{2}{n}$,$n \in \mathbf{N}^*$.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成$a_n = \begin{cases} 0, n 为奇数, \\ 1, n 为偶数. \end{cases}$也可以写成$a_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$($n \in \mathbf{N}^*$)或$a_n = \frac{1 + \cos n\pi}{2}$($n \in \mathbf{N}^*$).
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000,…，此数列的通项公式为$10^n$，可得原数列的一个通项公式为$a_n = 10^n - 1$,$n \in \mathbf{N}^*$.